题目
设在总体N(μ,σ^2)中抽得一容量为16的样本，这里N(μ,σ^2)，N(μ,σ^2)均未知.(1)求N(μ,σ^2),其中N(μ,σ^2)为样本方差.(2)求N(μ,σ^2).
设在总体
中抽得一容量为16的样本，这里
，
均未知.
(1)求
,其中
为样本方差.
(2)求
.
题目解答
答案
(1)根据
分布的定义：
为总体，
为样本，则
,分布的上分位点：
\chi_{\alpha}^2\left(n\right)\right\}=\alpha" data-width="185" data-height="29" data-size="2833" data-format="png" style="max-width:100%">,已知，
得
,
30.615\right\}" data-width="215" data-height="55" data-size="3884" data-format="png" style="max-width:100%">,查分布表得
,从而知
.
(2)根据分布：
方差的性质：
因为，得
,即
解析
步骤 1：计算$\dfrac {15{s}^{2}}{{\sigma }^{2}}$的分布
根据${x}^{2}$分布的定义，若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$为总体，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为样本，则$\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {x}^{2}(n-1)$。已知$n=16$，所以$\dfrac {15{s}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {\chi }^{2}(15)$。
步骤 2：计算$P\{ \dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 2.041\}$
$P\{ \dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 2.041\} =P\{ \dfrac {15{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 15\times 2.041\} =P\{ \dfrac {15{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 30.615\} =1-P\{ \dfrac {15{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\gt 30.615\} $。
步骤 3：查${x}^{2}$分布表
查${x}^{2}$分布表得${{x}_{0.01}}^{2}(15)=30.577$，从而知$p=1-0.01=0.99$。
步骤 4：计算$D({S}^{2})$
根据${x}^{2}$分布：$X\sim {X}^{2}(n)$，$E(X)=n$，$D(X)=2n$。方差的性质：$D(aX+b)={a}^{2}D(X)$。因为$\dfrac {15{s}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {\chi }^{2}(15)$，所以$D(\dfrac {{15.5}^{2}}{{\sigma }^{2}})=2\times 15=30$，即$\dfrac {{15}^{2}}{{\sigma }^{4}}D({S}^{2})=30$，从而$D({S}^{2})=\dfrac {2{\sigma }^{4}}{15}$。
根据${x}^{2}$分布的定义，若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$为总体，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为样本，则$\dfrac {(n-1){S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {x}^{2}(n-1)$。已知$n=16$，所以$\dfrac {15{s}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {\chi }^{2}(15)$。
步骤 2：计算$P\{ \dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 2.041\}$
$P\{ \dfrac {{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 2.041\} =P\{ \dfrac {15{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 15\times 2.041\} =P\{ \dfrac {15{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\leqslant 30.615\} =1-P\{ \dfrac {15{S}^{2}}{{\sigma }^{2}}\gt 30.615\} $。
步骤 3：查${x}^{2}$分布表
查${x}^{2}$分布表得${{x}_{0.01}}^{2}(15)=30.577$，从而知$p=1-0.01=0.99$。
步骤 4：计算$D({S}^{2})$
根据${x}^{2}$分布：$X\sim {X}^{2}(n)$，$E(X)=n$，$D(X)=2n$。方差的性质：$D(aX+b)={a}^{2}D(X)$。因为$\dfrac {15{s}^{2}}{{\sigma }^{2}}\sim {\chi }^{2}(15)$，所以$D(\dfrac {{15.5}^{2}}{{\sigma }^{2}})=2\times 15=30$，即$\dfrac {{15}^{2}}{{\sigma }^{4}}D({S}^{2})=30$，从而$D({S}^{2})=\dfrac {2{\sigma }^{4}}{15}$。