题目
设总体 X sim N(mu, sigma^2)，sigma^2 未知，设总体均值 mu 的置信度为 1 - alpha 的置信区间长度 l，那么 l 与 alpha 的关系为（）。A. alpha 与 l 关系不确定B. alpha 增大，l 增大C. alpha 增大，l 减小D. alpha 增大，l 不变
设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 未知，设总体均值 $\mu$ 的置信度为 $1 - \alpha$ 的置信区间长度 $l$，那么 $l$ 与 $\alpha$ 的关系为（）。
A. $\alpha$ 与 $l$ 关系不确定
B. $\alpha$ 增大，$l$ 增大
C. $\alpha$ 增大，$l$ 减小
D. $\alpha$ 增大，$l$ 不变
题目解答
答案
C. $\alpha$ 增大，$l$ 减小
解析
步骤 1：确定置信区间
对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，当 $\sigma^2$ 未知时，总体均值 $\mu$ 的置信区间可以表示为：
$$
\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
其中，$\bar{x}$ 是样本均值，$t_{\alpha/2, n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的 $\alpha/2$ 分位数，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：计算置信区间长度
置信区间长度 $l$ 可以表示为：
$$
l = 2 \cdot t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
步骤 3：分析 $l$ 与 $\alpha$ 的关系
当 $\alpha$ 增大时，$t_{\alpha/2, n-1}$ 减小，因为 $t_{\alpha/2, n-1}$ 是 t 分布的 $\alpha/2$ 分位数，$\alpha$ 增大意味着 $\alpha/2$ 增大，而 t 分布的分位数随 $\alpha/2$ 的增大而减小。因此，$l$ 减小。
对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，当 $\sigma^2$ 未知时，总体均值 $\mu$ 的置信区间可以表示为：
$$
\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
其中，$\bar{x}$ 是样本均值，$t_{\alpha/2, n-1}$ 是自由度为 $n-1$ 的 t 分布的 $\alpha/2$ 分位数，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
步骤 2：计算置信区间长度
置信区间长度 $l$ 可以表示为：
$$
l = 2 \cdot t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
步骤 3：分析 $l$ 与 $\alpha$ 的关系
当 $\alpha$ 增大时，$t_{\alpha/2, n-1}$ 减小，因为 $t_{\alpha/2, n-1}$ 是 t 分布的 $\alpha/2$ 分位数，$\alpha$ 增大意味着 $\alpha/2$ 增大，而 t 分布的分位数随 $\alpha/2$ 的增大而减小。因此，$l$ 减小。