题目

设总体 X sim N(mu, sigma^2)，mu, sigma^2 均未知，统计假设取为 H_0: mu = mu_0，H_1: mu neq mu_0. 若用 t 检验法进行假设检验，则在显著性水平 alpha 之下，拒绝域是(）。A. |t| B. |t| geq t_((alpha)/(2))(n-1)C. |t| geq t_(alpha)(n-1)D. t

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu, \sigma^2$ 均未知，统计假设取为 $H_0: \mu = \mu_0$，$H_1: \mu \neq \mu_0$. 若用 $t$ 检验法进行假设检验，则在显著性水平 $\alpha$ 之下，拒绝域是(）。

A. $|t| < t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$

B. $|t| \geq t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$

C. $|t| \geq t_{\alpha}(n-1)$

D. $t < -t_{\alpha}(n-1)$

题目解答

答案

B. $|t| \geq t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$

解析

本题考查正态总体均值的 $t$ 检验法以及拒绝域的确定。解题思路如下：

  1. 首先明确在总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$\mu, \sigma^2$ 均未知的情况下，进行关于均值 $\mu$ 的假设检验时，使用的统计量。
    • 当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，检验假设 $H_0: \mu = \mu_0$，$H_1: \mu \neq \mu_0$，我们构造的统计量为 $t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$，其中 $\overline{X}$ 是样本均值，$S$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。在 $H_0$ 成立的条件下，$t\sim t(n - 1)$，这里 $t(n - 1)$ 表示自由度为 $n - 1$ 的 $t$ 分布。
  2. 然后根据备择假设 $H_1: \mu \neq \mu_0$ 确定拒绝域的形式。
    • 备择假设 $H_1: \mu \neq \mu_0$ 是双侧假设，这意味着当样本均值 $\overline{X}$ 与 $\mu_0$ 的差异过大（无论是 $\overline{X}$ 远大于 $\mu_0$ 还是远小于 $\mu_0$）时，我们都应该拒绝原假设 $H_0$。
    • 对于双侧 $t$ 检验，我们要找到两个临界值，使得在原假设 $H_0$ 成立的情况下，统计量 $t$ 落在这两个临界值之外的概率为显著性水平 $\alpha$。
    • 由于 $t$ 分布是关于 $y$ 轴对称的，所以这两个临界值分别为 $-t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$ 和 $t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$，其中 $t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$ 满足 $P\{t\geq t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\}=\frac{\alpha}{2}$，$P\{t\leq -t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)\}=\frac{\alpha}{2}$。
    • 那么拒绝域就是 $t\leq -t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$ 或 $t\geq t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$，可以统一表示为 $|t|\geq t_{\frac{\alpha}{2}}(n - 1)$。