题目

设 A=} a_(11) & a_(12) & ... & a_(1n) a_(21) & a_(22) & ... & a_(2n) vdots & vdots & ... & vdots a_(n1) & a_(n2) & ... & a_(nn) . 以上 7 个命题中，正确的命题个数是()A 其他都不对B 7C 6D 5

设 $A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$，记 $A^{*}=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}$，其中 $A_{ij}$ 是行列式 $|A|$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式. 现有命题: (1) 当 $|A|\neq0$ 时，有 $|A^{*}|=|A|^{n-1}$；(2) $AA^{*}=|A|E$；(3) $A^{*}A=|A|E$；(4) 设 $|A|\neq0$，则 $(A^{*})^{-1}=\frac{1}{|A|}A$；(5) 设 $A$ 是可逆矩阵，则 $A^{*}=|A|A^{-1}$；(6) $A^{*}=\frac{|A|E}{A}$；(7) 设 $A$ 是可逆矩阵，则 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$. 以上 7 个命题中，正确的命题个数是() A 其他都不对 B 7 C 6 D 5

题目解答

答案

**答案：** 正确的命题个数为6。 **解析：** (1) 当 $ |A| \neq 0 $ 时，由 $ AA^* = |A|E $，取行列式得 $ |A^*| = |A|^{n-1} $，正确。 (2) 伴随矩阵性质 $ AA^* = |A|E $，正确。 (3) 同理，$ A^*A = |A|E $，正确。 (4) 由 $ AA^* = |A|E $，取逆得 $ (A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|}A $，正确。 (5) 可逆时，$ A^* = |A|A^{-1} $，正确。 (6) 表达式 $ \frac{|A|E}{A} $ 无意义，错误。 (7) 可逆时，$ A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* $，正确。 **结论：** 正确命题为(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(7)，共6个。 $\boxed{6}$

解析

本题主要考察伴随矩阵的基本性质，需逐一分析每个命题的正确性：

命题(1)：当$|A|\neq0$时，$|A^*|=|A|^{n-1}$

由伴随矩阵性质$AA^*=|A|E$，两边取行列式得：
$|A||A^*|=||A|E|=|A|^n$
因$|A|\neq0$，两边同除以$|A|$得$|A^*|=|A|^{n-1}$，正确。

命题(2)：$AA^*=|A|E$

这是伴随矩阵的核心性质：矩阵$A$与它的伴随矩阵$A^*$的乘积等于$|A|$乘以单位矩阵$E$，正确。

命题(3)：$A^*A=|A|E$

同理，伴随矩阵与矩阵$A$的乘积也等于$|A|E$，这是伴随矩阵的对称性性质，正确。

命题(4)：设$|A|\neq0$，则$(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$

由$AA^*=|A|E$，两边同除以$|A|$得：
$A\left(\frac{1}{|A|}A^*\right)=E$
根据逆矩阵定义，$(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$，正确。

命题(5)：设$A$是可逆矩阵，则$A^*=|A|A^{-1}$

由$AA^*=|A|E$，两边左乘$A^{-1}$得：
$A^*=|A|A^{-1}$
正确。

命题(6)：$A^*=\frac{|A|E}{A}$

矩阵除法无定义（矩阵运算中不存在除法），$\frac{|A|E}{A}$表述错误，错误。

命题(7)：设$A$是可逆矩阵，则$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$

由$A^*=|A|A^{-1}$，两边同乘$\frac{1}{|A|}$得：
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$
正确。