题目
四、计算题52401A.某餐厅每天接待100名顾客，设每位顾客的消费额（元）服从（40，100）上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，根据题意回答下列问题：（1）设X_(k)为第k位顾客的消费额，写出X_(k)(k=1,2,...,100)满足独立同分布的中心极限定理中除的⑤外的4个条件：①____；②____；③____；④____。（2）根据中心极限定理，在⑤n=100充分大时，X=sum_(k=1)^100X_(k)simxlongequal(近似)X=(sum_(k=1)^100X_(k))/(N(7000,3000))（3）根据（2），求这天餐厅的营业额低于7200元概率。
四、计算题
52401A.某餐厅每天接待100名顾客，设每位顾客的消费额（元）服从（40，100）上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，根据题意回答下列问题：
（1）设$X_{k}$为第k位顾客的消费额，写出$X_{k}(k=1,2,\cdots,100)$满足独立同分布的中心极限定理中除的⑤外的4个条件：
①____；②____；③____；④____。
（2）根据中心极限定理，在⑤n=100充分大时，$X=\sum_{k=1}^{100}X_{k}\sim$$\xlongequal{近似}$$X=\frac{\sum_{k=1}^{100}X_{k}}{N(7000,3000)}$
（3）根据（2），求这天餐厅的营业额低于7200元概率。
题目解答
答案
（1）条件：
① 相互独立；
② 同分布（$U(40,100)$）；
③ $E(X_k) = 70$；
④ $D(X_k) = 300$。
（2）近似分布：
$X \sim N(7000, 30000)$。
（3）概率计算：
标准化得 $Z = \frac{X - 7000}{\sqrt{30000}}$，
$P(X < 7200) = P\left(Z < \frac{200}{\sqrt{30000}}\right) \approx \Phi(1.1547) \approx 0.875$。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
1. & \text{① 相互独立；② 同分布（} U(40,100) \text{）；③ } E(X_k) = 70 \text{；④ } D(X_k) = 300 \text{。} \\
2. & N(7000, 30000)。 \\
3. & \approx 0.875。
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：确定独立同分布的中心极限定理的条件
根据中心极限定理，对于独立同分布的随机变量序列，当样本量足够大时，其和的标准化变量近似服从标准正态分布。这里，我们需要确定$X_{k}$满足的条件。
步骤 2：计算期望和方差
对于均匀分布$U(40,100)$，其期望$E(X_k)$和方差$D(X_k)$分别为：
\[ E(X_k) = \frac{40 + 100}{2} = 70 \]
\[ D(X_k) = \frac{(100 - 40)^2}{12} = \frac{60^2}{12} = 300 \]
步骤 3：确定近似分布
根据中心极限定理，当$n=100$时，$X=\sum_{k=1}^{100}X_{k}$的近似分布为正态分布，其均值和方差分别为：
\[ E(X) = 100 \times 70 = 7000 \]
\[ D(X) = 100 \times 300 = 30000 \]
步骤 4：计算概率
标准化$X$，得到$Z$的分布，然后计算$P(X < 7200)$。
\[ Z = \frac{X - 7000}{\sqrt{30000}} \]
\[ P(X < 7200) = P\left(Z < \frac{7200 - 7000}{\sqrt{30000}}\right) = P\left(Z < \frac{200}{\sqrt{30000}}\right) \]
\[ P\left(Z < \frac{200}{\sqrt{30000}}\right) \approx \Phi(1.1547) \approx 0.875 \]
根据中心极限定理，对于独立同分布的随机变量序列，当样本量足够大时，其和的标准化变量近似服从标准正态分布。这里，我们需要确定$X_{k}$满足的条件。
步骤 2：计算期望和方差
对于均匀分布$U(40,100)$，其期望$E(X_k)$和方差$D(X_k)$分别为：
\[ E(X_k) = \frac{40 + 100}{2} = 70 \]
\[ D(X_k) = \frac{(100 - 40)^2}{12} = \frac{60^2}{12} = 300 \]
步骤 3：确定近似分布
根据中心极限定理，当$n=100$时，$X=\sum_{k=1}^{100}X_{k}$的近似分布为正态分布，其均值和方差分别为：
\[ E(X) = 100 \times 70 = 7000 \]
\[ D(X) = 100 \times 300 = 30000 \]
步骤 4：计算概率
标准化$X$，得到$Z$的分布，然后计算$P(X < 7200)$。
\[ Z = \frac{X - 7000}{\sqrt{30000}} \]
\[ P(X < 7200) = P\left(Z < \frac{7200 - 7000}{\sqrt{30000}}\right) = P\left(Z < \frac{200}{\sqrt{30000}}\right) \]
\[ P\left(Z < \frac{200}{\sqrt{30000}}\right) \approx \Phi(1.1547) \approx 0.875 \]