题目

X_1, X_2, ..., X_n 和 Y_1, Y_2, ..., Y_n 分别是总体 N(mu_1, sigma_1^2) 与 N(mu_2, sigma_2^2) 的样本，且相互独立，其中 sigma_1^2, sigma_2^2 已知，则 mu_1 - mu_2 的置信度为 1 - alpha 的置信区间是（） A. [(overline(X) - overline(Y))pm t_((alpha)/(2))(n_1 + n_2 - 2)sqrt((S_1^2)/(n_1) + (S_2^2)/(n_2))]B. [(overline(X) - overline(Y))pm Z_((alpha)/(2)) sqrt((sigma_1^2)/(n_1) + (sigma_2^2)/(n_2))]C. [(overline(Y) - overline(X))pm t_((alpha)/(2))(n_1 + n_2 - 2)sqrt((S_1^2)/(n_1) + (S_2^2)/(n_2))]D. [(overline(Y) - overline(X))pm Z_((alpha)/(2)) sqrt((sigma_1^2)/(n_1) + (sigma_2^2)/(n_2))]

$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 和 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 分别是总体 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 与 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$ 的样本，且相互独立，其中 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知，则 $\mu_1 - \mu_2$ 的置信度为 $1 - \alpha$ 的置信区间是（）

  • A. $[(\overline{X} - \overline{Y})\pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1 + n_2 - 2)\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}]$
  • B. $[(\overline{X} - \overline{Y})\pm Z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}]$
  • C. $[(\overline{Y} - \overline{X})\pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1 + n_2 - 2)\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}]$
  • D. $[(\overline{Y} - \overline{X})\pm Z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}]$

题目解答

答案

为了确定$\mu_1 - \mu_2$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间，我们需要考虑两个独立样本的均值之差的分布。已知总体方差$\sigma_1^2$和$\sigma_2^2$，两个样本均值之差$\overline{X} - \overline{Y}$的分布是正态的，其均值为$\mu_1 - \mu_2$，方差为$\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}$。 $\overline{X} - \overline{Y}$的标准化形式为： \[ Z = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \] 这个统计量遵循标准正态分布$N(0,1)$。 为了找到$\mu_1 - \mu_2$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间，我们使用标准正态分布的临界值$Z_{\alpha/2}$。置信区间由下式给出： \[ - Z_{\alpha/2} \leq \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \leq Z_{\alpha/2} \] 重新排列这个不等式，我们得到： \[ (\overline{X} - \overline{Y}) - Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \leq \mu_1 - \mu_2 \leq (\overline{X} - \overline{Y}) + Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \] 因此，$\mu_1 - \mu_2$的置信度为$1 - \alpha$的置信区间是： \[ [(\overline{X} - \overline{Y}) \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}] \] 正确答案是$\boxed{B}$。

解析

考查要点：本题主要考查两个独立正态总体均值差的置信区间构造方法，重点在于区分总体方差已知与未知时的不同处理方式。

解题核心思路：

  1. 确定统计量分布：由于总体方差 $\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$ 已知，且样本独立，样本均值之差 $\overline{X} - \overline{Y}$ 的分布为正态分布。
  2. 标准化统计量：利用已知方差构造标准正态统计量 $Z$，避免使用 $t$ 分布。
  3. 构造置信区间：通过标准正态分布的临界值 $Z_{\alpha/2}$，结合均值差的方差，写出置信区间表达式。

破题关键点：

  • 排除干扰项：选项中若出现 $t$ 分布或样本方差 $S^2$，可直接排除（如选项A、C）。
  • 方向一致性：置信区间应以 $\overline{X} - \overline{Y}$ 为中心，而非 $\overline{Y} - \overline{X}$（排除选项D）。

步骤1：确定统计量分布

  • 样本均值 $\overline{X} \sim N\left(\mu_1, \frac{\sigma_1^2}{n_1}\right)$，$\overline{Y} \sim N\left(\mu_2, \frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)$。
  • 由于独立，$\overline{X} - \overline{Y} \sim N\left(\mu_1 - \mu_2, \frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)$。

步骤2：标准化统计量

构造标准化形式：
$Z = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)$

步骤3：建立置信区间

置信度为 $1 - \alpha$ 对应的临界值为 $Z_{\alpha/2}$，满足：
$- Z_{\alpha/2} \leq Z \leq Z_{\alpha/2}$
代入标准化表达式，解得：
$\mu_1 - \mu_2 \in \left[(\overline{X} - \overline{Y}) \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right]$

步骤4：选项分析

  • 选项B 符合推导结果，以 $\overline{X} - \overline{Y}$ 为中心，使用 $Z_{\alpha/2}$ 和已知方差。
  • 选项D 的中心为 $\overline{Y} - \overline{X}$，方向错误。