设随机变量 X sim N(2,16)，已知 phi(0.25)=0.5987,phi(1.25)=0.8944，则 P|X|<3= _________.
设随机变量 $X \sim N(2,16)$，已知 $\phi(0.25)=0.5987,\phi(1.25)=0.8944$，则 $P\{|X|<3\}=$ _________.
题目解答
答案
我们来逐步解决这个概率问题。
题目分析
已知随机变量 $ X \sim N(2, 16) $，表示：
- 均值 $ \mu = 2 $
- 方差 $ \sigma^2 = 16 $，所以标准差 $ \sigma = \sqrt{16} = 4 $
要求计算：
$P\{|X| < 3\}$
即：
$P\{-3 < X < 3\}$
由于 $ X $ 服从正态分布，我们可以通过标准化（化为标准正态分布）来计算这个概率。
第一步：标准化
设标准正态变量为 $ Z \sim N(0,1) $，我们对区间 $-3 < X < 3$ 进行标准化：
$P(-3 < X < 3) = P\left( \frac{-3 - \mu}{\sigma} < Z < \frac{3 - \mu}{\sigma} \right)$
代入 $ \mu = 2 $, $ \sigma = 4 $：
$= P\left( \frac{-3 - 2}{4} < Z < \frac{3 - 2}{4} \right) = P\left( \frac{-5}{4} < Z < \frac{1}{4} \right) = P(-1.25 < Z < 0.25)$
第二步：利用标准正态分布函数 $ \Phi(z) $
我们知道：
$P(-1.25 < Z < 0.25) = \Phi(0.25) - \Phi(-1.25)$
注意：$ \Phi(-a) = 1 - \Phi(a) $，所以：
$\Phi(-1.25) = 1 - \Phi(1.25)$
题目已知：
- $ \Phi(0.25) = 0.5987 $
- $ \Phi(1.25) = 0.8944 $
所以：
$\Phi(-1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056$
因此：
$P(-1.25 < Z < 0.25) = 0.5987 - 0.1056 = 0.4931$
最终答案
$\boxed{0.4931}$
✅ 答案：$ \boxed{0.4931} $
解析
本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先根据已知条件确定随机变量$X$的均值$\mu$和标准差$\sigma$，再将所求概率$P\{|X| < 3\}$转化为标准正态分布的概率，最后利用标准正态分布函数$\varPhi(z)$以及其性质进行计算。
- 确定随机变量$X$的参数：
已知随机变量$X \sim N(2, 16)$，根据正态分布$N(\mu, \sigma^2)$的定义，可得均值$\mu = 2$，方差$\sigma^2 = 16$，则标准差$\sigma = \sqrt{16} = 4$。 - 转化所求概率：
$P\{|X| < 3\}$等价于$P\{-3 < X < 3\}$。 - 标准化随机变量：
设标准正态变量为$Z \sim N(0,1)$，对区间$-3 < X < 3$进行标准化，根据标准化公式$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，可得：
$P(-3 < X < 3) = P\left( \frac{-3 - \mu}{\sigma} < Z < \frac{3 - \mu}{\sigma} \right)$
将$\mu = 2$，$\sigma = 4$代入上式：
$P\left( \frac{-3 - 2}{4} < Z < \frac{3 - 2}{4} \right) = P\left( \frac{-5}{4} < Z < \frac{1}{4} \right) = P(-1.25 < Z < 0.25)$ - 利用标准正态分布函数计算概率：
根据标准正态分布函数的性质，$P(-1.25 < Z < 0.25) = \varPhi(0.25) - \varPhi(-1.25)$。
又因为标准正态分布函数具有性质$\varPhi(-a) = 1 - \varPhi(a)$，所以$\varPhi(-1.25) = 1 - \varPhi(1.25)$。
已知$\varPhi(0.25) = 0.5987$，$\varPhi(1.25) = 0.8944$，则$\varPhi(-1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056$。
所以$P(-1.25 < Z < 0.25) = 0.5987 - 0.1056 = 0.4931$。