设随机变量 X sim N(2,16)，已知 phi(0.25)=0.5987,phi(1.25)=0.8944，则 P|X|<3= _________.

我们来逐步解决这个概率问题。

题目分析

已知随机变量 $ X \sim N(2, 16) $，表示：

• 均值 $ \mu = 2 $
• 方差 $ \sigma^2 = 16 $，所以标准差 $ \sigma = \sqrt{16} = 4 $

要求计算：
$P\{|X| < 3\}$

即：
$P\{-3 < X < 3\}$

由于 $ X $ 服从正态分布，我们可以通过标准化（化为标准正态分布）来计算这个概率。

第一步：标准化

设标准正态变量为 $ Z \sim N(0,1) $，我们对区间 $-3 < X < 3$ 进行标准化：

$P(-3 < X < 3) = P\left( \frac{-3 - \mu}{\sigma} < Z < \frac{3 - \mu}{\sigma} \right)$

代入 $ \mu = 2 $, $ \sigma = 4 $：

$= P\left( \frac{-3 - 2}{4} < Z < \frac{3 - 2}{4} \right) = P\left( \frac{-5}{4} < Z < \frac{1}{4} \right) = P(-1.25 < Z < 0.25)$

第二步：利用标准正态分布函数 $ \Phi(z) $

我们知道：
$P(-1.25 < Z < 0.25) = \Phi(0.25) - \Phi(-1.25)$

注意：$ \Phi(-a) = 1 - \Phi(a) $，所以：
$\Phi(-1.25) = 1 - \Phi(1.25)$

题目已知：

• $ \Phi(0.25) = 0.5987 $
• $ \Phi(1.25) = 0.8944 $

所以：
$\Phi(-1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056$

因此：
$P(-1.25 < Z < 0.25) = 0.5987 - 0.1056 = 0.4931$

最终答案

$\boxed{0.4931}$

✅ 答案：$ \boxed{0.4931} $