题目
4.利用极限存在准则证明：(1)lim_(ntoinfty)sqrt(1+(1)/(n))=1;
4.利用极限存在准则证明：
(1)$\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n}}=1;$
题目解答
答案
利用夹逼准则，构造数列 $a_n = 1$ 和 $c_n = 1 + \frac{1}{n}$，满足
\[1 < \sqrt{1 + \frac{1}{n}} < 1 + \frac{1}{n}.\]
由于 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = 1$，由夹逼准则得
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{n}} = 1.\]
或者，利用极限的连续性，
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{n}} = \sqrt{\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)} = \sqrt{1} = 1.\]
**答案：**
$\boxed{1}$