题目
1.设总体X服从参数为λ的泊松分布,(X1,X2,···,,x10 )是来自X的简单随机样-|||-本,试写出(X1,X2,···,X10)的联合概率分布.
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在固定时间或空间内发生事件的次数。泊松分布的概率质量函数为：
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
其中，\( k \) 是事件发生的次数，\( \lambda \) 是事件发生的平均次数。
步骤 2：写出单个样本的概率分布
对于单个样本 \( X_i \)，其概率分布为：
\[ P(X_i = k_i) = \frac{\lambda^{k_i} e^{-\lambda}}{k_i!} \]
步骤 3：写出联合概率分布
由于样本是独立的，联合概率分布是每个样本概率分布的乘积。因此，对于样本 \( (X_1, X_2, \ldots, X_{10}) \)，其联合概率分布为：
\[ P(X_1 = k_1, X_2 = k_2, \ldots, X_{10} = k_{10}) = \prod_{i=1}^{10} P(X_i = k_i) \]
\[ = \prod_{i=1}^{10} \frac{\lambda^{k_i} e^{-\lambda}}{k_i!} \]
\[ = \frac{\lambda^{k_1} e^{-\lambda}}{k_1!} \cdot \frac{\lambda^{k_2} e^{-\lambda}}{k_2!} \cdot \ldots \cdot \frac{\lambda^{k_{10}} e^{-\lambda}}{k_{10}!} \]
\[ = \frac{\lambda^{k_1 + k_2 + \ldots + k_{10}} e^{-10\lambda}}{k_1! k_2! \ldots k_{10}!} \]
泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在固定时间或空间内发生事件的次数。泊松分布的概率质量函数为：
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
其中，\( k \) 是事件发生的次数，\( \lambda \) 是事件发生的平均次数。
步骤 2：写出单个样本的概率分布
对于单个样本 \( X_i \)，其概率分布为：
\[ P(X_i = k_i) = \frac{\lambda^{k_i} e^{-\lambda}}{k_i!} \]
步骤 3：写出联合概率分布
由于样本是独立的，联合概率分布是每个样本概率分布的乘积。因此，对于样本 \( (X_1, X_2, \ldots, X_{10}) \)，其联合概率分布为：
\[ P(X_1 = k_1, X_2 = k_2, \ldots, X_{10} = k_{10}) = \prod_{i=1}^{10} P(X_i = k_i) \]
\[ = \prod_{i=1}^{10} \frac{\lambda^{k_i} e^{-\lambda}}{k_i!} \]
\[ = \frac{\lambda^{k_1} e^{-\lambda}}{k_1!} \cdot \frac{\lambda^{k_2} e^{-\lambda}}{k_2!} \cdot \ldots \cdot \frac{\lambda^{k_{10}} e^{-\lambda}}{k_{10}!} \]
\[ = \frac{\lambda^{k_1 + k_2 + \ldots + k_{10}} e^{-10\lambda}}{k_1! k_2! \ldots k_{10}!} \]