题目

87.(2023，江西)已知y=y(x)是由方程1+xy=e^x+y所确定的隐函数，求y'(0)

87.(2023，江西)已知$y=y(x)$是由方程$1+xy=e^{x+y}$所确定的隐函数，求y'(0)

题目解答

答案

为了找到由方程 $1 + xy = e^{x+y}$ 确定的隐函数 $y = y(x)$ 的 $y'(0)$，我们将对等式两边关于 $x$ 进行求导，然后求解 $y'$。 1. 从给定的方程开始： \[ 1 + xy = e^{x+y} \] 2. 对等式两边关于 $x$ 求导： \[ \frac{d}{dx}(1 + xy) = \frac{d}{dx}(e^{x+y}) \] 3. 左边的导数是： \[ \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(xy) = 0 + y + xy' = y + xy' \] 4. 右边的导数是： \[ \frac{d}{dx}(e^{x+y}) = e^{x+y} \cdot \frac{d}{dx}(x+y) = e^{x+y} \cdot (1 + y') = e^{x+y} + e^{x+y}y' \] 5. 将导数设为相等： \[ y + xy' = e^{x+y} + e^{x+y}y' \] 6. 重新排列项以隔离 $y'$： \[ y + xy' - e^{x+y}y' = e^{x+y} \] \[ y + (x - e^{x+y})y' = e^{x+y} \] \[ (x - e^{x+y})y' = e^{x+y} - y \] \[ y' = \frac{e^{x+y} - y}{x - e^{x+y}} \] 7. 为了找到 $y'(0)$，将 $x = 0$ 代入方程。首先，我们需要确定当 $x = 0$ 时 $y$ 的值。从原始方程： \[ 1 + 0 \cdot y = e^{0+y} \] \[ 1 = e^y \] \[ y = 0 \] 8. 现在将 $x = 0$ 和 $y = 0$ 代入 $y'$ 的表达式： \[ y'(0) = \frac{e^{0+0} - 0}{0 - e^{0+0}} = \frac{e^0}{-e^0} = \frac{1}{-1} = -1 \] 因此，$y'(0)$ 的值是 $\boxed{-1}$。

解析

考查要点：本题主要考查隐函数求导的方法，以及代入特定点求导数值的能力。
解题思路：

  1. 隐函数求导：对等式两边同时关于$x$求导，注意使用链式法则和乘积法则。
  2. 代数变形：将求导后的方程整理为关于$y'$的表达式，解出$y'$。
  3. 代入求值：先通过原方程求出$x=0$时对应的$y$值，再代入导数表达式计算$y'(0)$。
    关键点：正确应用求导法则，代数变形时注意符号和项的移动，以及代入点的准确性。

  1. 求$x=0$时的$y$值
    将$x=0$代入原方程$1 + xy = e^{x+y}$，得：
    $1 + 0 \cdot y = e^{0 + y} \implies 1 = e^y \implies y = 0.$

  2. 对原方程两边求导

    • 左边：$\frac{d}{dx}(1 + xy) = y + x y'$（乘积法则）。
    • 右边：$\frac{d}{dx}(e^{x+y}) = e^{x+y} \cdot (1 + y')$（链式法则）。
      因此，导数方程为：
      $y + x y' = e^{x+y} (1 + y').$

  3. 整理方程解$y'$
    移项整理含$y'$的项：
    $x y' - e^{x+y} y' = e^{x+y} - y \implies y' (x - e^{x+y}) = e^{x+y} - y.$
    解得：
    $y' = \frac{e^{x+y} - y}{x - e^{x+y}}.$

  4. 代入$x=0$和$y=0$
    $y'(0) = \frac{e^{0+0} - 0}{0 - e^{0+0}} = \frac{1}{-1} = -1.$