按规定某电器元件的寿命不得低于1500小时,从该批元件中随机抽取了25件,测得其平均寿命1460小时,标准差65小时,问在alpha =0.05下该批文件是否合规？(附:alpha =0.05,alpha =0.05,alpha =0.05,alpha =0.05)

考查要点：本题主要考查单样本t检验的应用，用于判断电器元件的平均寿命是否符合最低要求（不低于1500小时）。
解题核心思路：

1. 假设设定：原假设为“寿命不低于1500小时”（单侧检验），备择假设为“寿命低于1500小时”。
2. 检验统计量：由于样本量较小（n=25）且总体方差未知，采用t检验。
3. 临界值判断：根据自由度（n-1=24）和显著性水平α=0.05，查找t分布表确定临界值，比较计算的t值与临界值，作出决策。

破题关键：

• 单侧检验的设定（左侧拒绝域）。
• t值计算的准确性：$\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}$。
• 临界值选择：单侧α=0.05对应的t临界值。

步骤1：假设设定

• 原假设：$H_0: \mu \geq 1500$（元件寿命不低于1500小时）。
• 备择假设：$H_1: \mu < 1500$（元件寿命低于1500小时）。

步骤2：构造检验统计量

由于总体方差未知且样本量小，采用t检验：
$t = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}} = \frac{1460 - 1500}{65/\sqrt{25}} = \frac{-40}{13} \approx -3.0769$

步骤3：确定拒绝域与临界值

• 单侧检验，显著性水平α=0.05，自由度df=n-1=24。
• 查t分布表得临界值：$t_{0.05}(24) = -2.0639$（左侧拒绝域为$t < -2.0639$）。

步骤4：比较t值与临界值

计算得$t \approx -3.0769$，小于临界值$-2.0639$，落入拒绝域，拒绝原假设。