设X_1, X_2, ldots, X_n是取自正态总体N(1, sigma^2)的样本，sigma^2 > 0, (n geq 2)， overline(sigma^2) = (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - 1)^2， S^2 = (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X) )^2， 则下列选项中正确的是(）.A. Var(overline(sigma^2)) > Var(S^2)B. Var(overline(sigma^2))C. Var(overline(sigma^2))= Var(S^2)D. Var(overline(sigma^2))和Var(S^2)的大小关系无法确定

考查要点：本题主要考查正态总体下两个方差估计量的方差比较，涉及卡方分布的性质及方差计算。

解题核心思路：

1. 识别估计量的分布：明确$\overline{\sigma^2}$和$S^2$分别对应的卡方分布形式，利用卡方分布的方差公式推导两者方差。
2. 比较方差大小：通过分母大小关系直接比较两方差的表达式。

破题关键点：

• $\overline{\sigma^2}$的构造：基于总体均值$1$计算，服从自由度为$n$的卡方分布。
• $S^2$的构造：基于样本均值$\overline{X}$计算，服从自由度为$n-1$的卡方分布。
• 方差公式推导：利用卡方分布的方差性质，结合估计量的表达式，分别计算两者的方差。

步骤1：计算$\overline{\sigma^2}$的方差

1. 标准化形式：
   $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - 1)^2 \sim \chi^2(n)$
   其方差为$2n$。
2. 方差推导：
   $\text{Var}\left( \sum_{i=1}^n (X_i - 1)^2 \right) = 2n \sigma^4$
   因此，
   $\text{Var}(\overline{\sigma^2}) = \text{Var}\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - 1)^2 \right) = \frac{2 \sigma^4}{n}$

步骤2：计算$S^2$的方差

1. 标准化形式：
   $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$
   其方差为$2(n-1)$。
2. 方差推导：
   $\text{Var}\left( (n-1)S^2 \right) = 2(n-1) \sigma^4$
   因此，
   $\text{Var}(S^2) = \frac{2 \sigma^4}{n-1}$

步骤3：比较方差大小

• 分母对比：由于$n \geq 2$，有$n > n-1$，故
  $\frac{2 \sigma^4}{n} < \frac{2 \sigma^4}{n-1}$
  即
  $\text{Var}(\overline{\sigma^2}) < \text{Var}(S^2)$