lim_(n to infty) ( sqrt(n + 3sqrt(n)) - sqrt(n - sqrt(n)) ) =A. 1B. 0C. 2D. 3

我们要求极限：

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n + 3\sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}} \right)$

这是一个“无穷大减无穷大”型的不定式（虽然两个根号都趋于无穷，但它们的差可能趋于某个有限值），因此我们需要通过有理化的方法来处理。

第一步：有理化

我们使用公式：
$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$

令：

• $ a = n + 3\sqrt{n} $
• $ b = n - \sqrt{n} $

则：
$\sqrt{n + 3\sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}} = \frac{(n + 3\sqrt{n}) - (n - \sqrt{n})}{\sqrt{n + 3\sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}}}$

计算分子：
$(n + 3\sqrt{n}) - (n - \sqrt{n}) = n + 3\sqrt{n} - n + \sqrt{n} = 4\sqrt{n}$

所以原式变为：
$\frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{n + 3\sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}}}$

第二步：提取主项，化简分母

我们希望分析当 $ n \to \infty $ 时这个分式的极限。

先看分母中的两个根号项。我们尝试从每个根号中提取出 $ \sqrt{n} $。

令 $ \sqrt{n} = x $，那么 $ n = x^2 $，当 $ n \to \infty $ 时，$ x \to \infty $。

代入表达式：

分子：
$4\sqrt{n} = 4x$

分母：
$\sqrt{n + 3\sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}} = \sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - x}$

所以整个表达式变为：
$\frac{4x}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - x}}$

接下来我们对每个根号进行近似（或提取 $ x $）：

$\sqrt{x^2 + 3x} = x \sqrt{1 + \frac{3}{x}} \approx x \left(1 + \frac{3}{2x} - \frac{9}{8x^2} + \cdots \right) = x + \frac{3}{2} - \frac{9}{8x} + \cdots$

$\sqrt{x^2 - x} = x \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \approx x \left(1 - \frac{1}{2x} - \frac{1}{8x^2} + \cdots \right) = x - \frac{1}{2} - \frac{1}{8x} + \cdots$

所以分母近似为：
$(x + \frac{3}{2}) + (x - \frac{1}{2}) = 2x + 1 + \text{小量}$

更精确地：
$\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - x} \approx (x + \frac{3}{2}) + (x - \frac{1}{2}) = 2x + 1$

因此，整个分式近似为：
$\frac{4x}{2x + 1} \to \frac{4x}{2x} = 2 \quad \text{当 } x \to \infty$

所以极限为：
$\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - x}} = 2$

第三步：严谨一点的处理（可选）

我们也可以不展开，而是分子分母同除以 $ x $：

$\frac{4x}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 - x}} = \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}$

当 $ x \to \infty $ 时，$ \frac{3}{x} \to 0 $, $ \frac{1}{x} \to 0 $，所以：

$\sqrt{1 + \frac{3}{x}} \to 1, \quad \sqrt{1 - \frac{1}{x}} \to 1$

因此分母趋于 $ 1 + 1 = 2 $，分子是 4，所以整体趋于：
$\frac{4}{2} = 2$

最终答案：

$\boxed{2}$

选项中：

C. 2

答案：C. 2