1 2 2 2-|||-2 2 2 2-|||-2 2 3 ... 2-|||-:-|||-2 2 2通过计算以上n阶行列式可知,当1 2 2 2-|||-2 2 2 2-|||-2 2 3 ... 2-|||-:-|||-2 2 2时,该行列式的值为()A -48 B 24 C 48 D -24

考查要点：本题主要考查行列式的性质及行变换的应用，特别是利用上三角行列式主对角线元素乘积的性质简化计算。

解题核心思路：

1. 构造上三角行列式：通过行变换将原行列式转化为上三角形式，此时行列式的值等于主对角线元素的乘积。
2. 关键操作：保留某一行（如第二行），将其他行减去该行，制造主对角线下方的零元素。

破题关键点：

• 选择合适的行进行变换，使得变换后的行列式呈现上三角结构。
• 注意符号变化，尤其是主对角线元素的符号对最终结果的影响。

行列式结构：
当 $n=6$ 时，行列式为：
$\begin{vmatrix}1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\2 & 2 & 3 & 2 & 2 & 2 \\2 & 2 & 2 & 4 & 2 & 2 \\2 & 2 & 2 & 2 & 5 & 2 \\2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 6 \\\end{vmatrix}$

行变换过程：

1. 保留第二行，将其他行减去第二行：

   • 第一行变为：$[1-2, 2-2, 2-2, 2-2, 2-2, 2-2] = [-1, 0, 0, 0, 0, 0]$
   • 第三行变为：$[2-2, 2-2, 3-2, 2-2, 2-2, 2-2] = [0, 0, 1, 0, 0, 0]$
   • 第四行变为：$[2-2, 2-2, 2-2, 4-2, 2-2, 2-2] = [0, 0, 0, 2, 0, 0]$
   • 第五行变为：$[2-2, 2-2, 2-2, 2-2, 5-2, 2-2] = [0, 0, 0, 0, 3, 0]$
   • 第六行变为：$[2-2, 2-2, 2-2, 2-2, 2-2, 6-2] = [0, 0, 0, 0, 0, 4]$

2. 新行列式结构：
   $\begin{vmatrix}-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\\end{vmatrix}$

3. 计算上三角行列式：
   主对角线元素为 $-1, 2, 1, 2, 3, 4$，乘积为：
   $(-1) \times 2 \times 1 \times 2 \times 3 \times 4 = -48$