为了解某校本科学生体质合格率的性别差异,随机抽查了本科男生110人和女生130人,其中男生有100人合格,女生有70人合格,请问该校本科男女生体质合格率是否不同?

考查要点：本题主要考查分类变量资料的卡方检验应用，需判断男女生体质合格率是否存在显著差异。
解题核心：

1. 识别四格表结构：将数据整理为2行2列的表格，明确实际频数（A）和理论频数（T）。
2. 选择检验方法：因样本量较大且为独立样本，采用完全随机设计四格表卡方检验。
3. 假设检验逻辑：通过计算卡方值，比较观察频数与理论频数的差异，推断总体差异是否显著。

1. 建立检验假设

• 原假设（$H_0$）：男女生合格率相同（$\pi_1 = \pi_2$）。
• 备择假设（$H_1$）：男女生合格率不同（$\pi_1 \neq \pi_2$）。
• 检验水准：$\alpha = 0.05$。

2. 构建四格表

性别	合格	不合格	总计
男	100	10	110
女	70	60	130
总计	170	70	240

3. 计算理论频数（$T$）

每个单元格的理论频数公式为：
$T_{ij} = \frac{\text{行合计} \times \text{列合计}}{\text{总样本量}}$

• 男性合格：$T_{11} = \frac{110 \times 170}{240} \approx 77.9$
• 男性不合格：$T_{12} = \frac{110 \times 70}{240} \approx 32.1$
• 女性合格：$T_{21} = \frac{130 \times 170}{240} \approx 92.1$
• 女性不合格：$T_{22} = \frac{130 \times 70}{240} \approx 37.9$

4. 计算卡方值

卡方公式：
$\chi^2 = \sum \frac{(A_{ij} - T_{ij})^2}{T_{ij}}$
代入数据：
$\chi^2 = \frac{(100-77.9)^2}{77.9} + \frac{(10-32.1)^2}{32.1} + \frac{(70-92.1)^2}{92.1} + \frac{(60-37.9)^2}{37.9} \approx 30.17$

5. 确定自由度与结论

• 自由度：$v = (R-1)(C-1) = (2-1)(2-1) = 1$
• 临界值：$\chi^2_{0.05,1} = 3.84$
• 比较：$\chi^2 = 30.17 > 3.84$，$P < 0.05$，拒绝原假设，认为合格率存在显著差异。