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设_(1),(X)_(2)... ... (X)_(7)为总体_(1),(X)_(2)... ... (X)_(7)的一个样本，试求：_(1),(X)_(2)... ... (X)_(7)常数_(1),(X)_(2)... ... (X)_(7)的值，使得_(1),(X)_(2)... ... (X)_(7)服从_(1),(X)_(2)... ... (X)_(7)分布；_(1),(X)_(2)... ... (X)_(7)_(1),(X)_(2)... ... (X)_(7)4)" data-width="152" data-height="68" data-size="3884" data-format="png" style="max-width:100%">

设 $X_1,X_2,......,X_7$ 为总体 $X\sim N\left(0,0.5^2\right)$ 的一个样本，试求：

$\left(1\right)$ 常数 $a,b$ 的值，使得 $a\left(X_1+X_2-X_3\right)^2+b\left(X_4+X_5+X_6\right)^2$ 服从 $\aleph^2$ 分布；

$\left(2\right)$ $P\left(\sum_{i=1}^7X_i^2>4\right)$

题目解答

答案

$\left(1\right)$ 因为 $X_i\sim N\left(0,0.5^2\right),i=1,2,.......7$

所以 $\left(X_1+X_2-X_3\right)\sim N\left(0,3\times0.5^2\right)$

$\left(X_4+X_5+X_6\right)\sim N\left(0,3\times0.5^2\right)$

将这两个化为标准正态分布得： $\frac{X_1+X_2-X_3}{\sqrt{3}\times0.5}\sim N\left(0,1\right)$

$\frac{X_4+X_5+X_6}{\sqrt{3}\times0.5}\sim N\left(0,1\right)$

由卡方分布的定义得 $\left(\frac{X_1+X_2-X_3}{\sqrt{3}\times0.5}\right)^2+\left(\frac{X_4+X_5+X_6}{\sqrt{3}\times0.5}\right)^2\sim\aleph^2\left(2\right)$

化简得： $\frac{4}{3}\left(X_1+X_2-X_3\right)^2+\frac{4}{3}\left(X_4+X_5+X_6\right)^2\sim\aleph^2\left(2\right)$

所以 $a=\frac{4}{3},b=\frac{4}{3}$

$\left(2\right)$ 因为 $X_i\sim N\left(0,0.5^2\right)$

所以 $\frac{X_i}{0.5}=2X_i\sim N\left(0,1\right)$

$\left(2X_i^{ }\right)^2=4X_i^2\sim\aleph^2\left(1\right),i=1,2,.....7$

由卡方分布的定义得 $\sum_{i=1}^74X_i^2\sim\aleph^2\left(7\right)$

所以 $P\left(\sum_{i=1}^7X_i^2>4\right)=P\left(\sum_{i=1}^74X_i^2>16\right)$

查看参数为 $7$ 的卡方分布表得 $P\left(\sum_{i=1}^74X_i^2>16\right)=0.03$

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