设三阶方阵A的三个特征值分别为1,2,3则矩阵 =2(A)^3-A 的行列式值-|||-|B|=765;A.对B.错

本题考查方阵特征特征值与方阵行列式的关系以及矩阵多项式特征值的性质。解题思路是先根据矩阵特征值的性质求出矩阵$B = = 2A^3 - A$的特征值，再利用方阵的行列式等于其所有特征值的乘积来计算$\vert B\vert$，最后判断题目所给结果是否正确。

1. 求矩阵$B = 2A^3 - A$的特征值：
   设$\lambda\lambda$是方阵$A$的特征值，$\alpha$是对应的特征向量，则$A\alpha = \lambda\alpha$。
   • 计算$A^3\alpha$：
     因为$A\alpha = \lambda\alpha$，那么$A^2\alpha = A(A\alpha)=A(\lambda\alpha)=\lambda A\alpha=\lambda^2\alpha$，同理$A^3\alpha = A(A^2\alpha)=A(\lambda^2\alpha)=\lambda^2 A\alpha=\lambda^3\alpha$。
   • 计算$(2A^3 - A)\alpha$：
     $(2A^3 - A)\alpha = 2A^3\alpha - A\alpha = 2\lambda^3\alpha - \lambda\alpha = (2\lambda^3 - \lambda)\alpha$。
     这表明若$\lambda$是$A$的特征值，则$2\lambda^3 - \lambda$是$2A^3 - A$的特征值。
     已知方阵$A$的三个特征值分别为$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 2$，$\lambda_3 = 3$，分别代入$2\lambda^3 - \lambda$求$B$的特征值：
   • 当$\lambda_1 = 1$时，$2\lambda_1^3 - \lambda_1 = 2\times1^3 - 1 = 1$。
   • 当$\lambda_2 = 2$时，$2\lambda_2^3 - \lambda_2 = 2\times2^3 - 2 = 2\times8 - 2 = 14$。
   • 当$\lambda_3 = 3$时，$2\lambda_3^3 - \lambda_3 = 2\times3^3 - 3 = 2\times27 - 3 = 54 - 3 = 51$。
     所以矩阵$B = 2A^3 - A$的三个特征值为$\mu_1 = 1$，$\mu_2 = 14$，$\mu_3 = 51$。
2. 计算矩阵$B$的行列式$\vert B\vert$：
   根据方阵的行列式等于其所有特征值的乘积，可得$\vert B\vert = \mu_1\times\mu_2\times\mu_3 = 1\times14\times51 = 714$。
3. 判断题目所给是否正确：
   题目中说$\vert B\vert = 765$，而我们计算得出$\vert B\vert = 714$，所以题目所给是错误的。