(12)一批零件中有9个合格品和3个次品,从这批零件中任取一个,如果每次取出-|||-的次品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的次品数的期望、方差和标准差.

考查要点：本题主要考查不放回抽样下的概率分布，涉及期望、方差和标准差的计算。关键在于理解随机变量的定义及正确计算各取值对应的概率。

解题思路：

1. 确定随机变量：设X为在取得合格品前已取出的次品数，X的可能取值为0,1,2,3。
2. 计算概率：对于每个k（0≤k≤3），计算前k次抽到次品且第k+1次抽到合格品的概率，注意每次抽取后不放回。
3. 期望与方差：利用概率分布计算期望E(X)和方差Var(X)，标准差为方差的平方根。

破题关键：正确列出各k值对应的概率，尤其注意分母随抽取次数递减。

随机变量X的可能取值及概率计算

X=0（第一次抽到合格品）

概率：
$P(X=0) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

X=1（第一次次品，第二次合格）

概率：
$P(X=1) = \frac{3}{12} \times \frac{9}{11} = \frac{9}{44}$

X=2（前两次次品，第三次合格）

概率：
$P(X=2) = \frac{3}{12} \times \frac{2}{11} \times \frac{9}{10} = \frac{9}{220}$

X=3（前三抽次品，第四次合格）

概率：
$P(X=3) = \frac{3}{12} \times \frac{2}{11} \times \frac{1}{10} \times 1 = \frac{1}{220}$

期望计算

$E(X) = 0 \times \frac{3}{4} + 1 \times \frac{9}{44} + 2 \times \frac{9}{220} + 3 \times \frac{1}{220} = \frac{66}{220} = 0.3$

方差计算

1. 计算$E(X^2)$：
   $E(X^2) = 0^2 \times \frac{3}{4} + 1^2 \times \frac{9}{44} + 2^2 \times \frac{9}{220} + 3^2 \times \frac{1}{220} = \frac{90}{220} = \frac{9}{22}$
2. 方差：
   $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{9}{22} - \left(\frac{3}{10}\right)^2 = \frac{351}{1100} \approx 0.319$

标准差计算

$\text{标准差} = \sqrt{\text{Var}(X)} \approx \sqrt{0.319} \approx 0.565$