设 X_(1),X_(2) 是来自正态总体 N(mu,1) 的样本，则对统计量 hat(mu)_(1)=(2)/(3)X_(1)+(1)/(3)X_(2), hat(mu)_(2)=(1)/(4)X_(1)+(3)/(4)X_(2), hat(mu)_(3)=(1)/(2)X_(1)+(1)/(2)X_(2), 以下结论中错误的是A. hat(mu)_(1),hat(mu)_(2),hat(mu)_(3) 都是 mu 的无偏估计量B. hat(mu)_(1),hat(mu)_(2),hat(mu)_(3) 都是 mu 的一致估计量C. hat(mu)_(3) 比 hat(mu)_(1),hat(mu)_(2) 更有效D. (hat(mu)_(1)+hat(mu)_(2))/(2) 比 hat(mu)_(3) 更有效

我们来逐项分析题目中给出的三个统计量 $\hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2, \hat{\mu}_3$ 的性质，并判断选项中哪一个是**错误的**。 --- ### **题目背景** - 总体服从正态分布 $N(\mu, 1)$，即均值为 $\mu$，方差为 1。 - $X_1, X_2$ 是来自该总体的样本，即独立同分布，$X_1, X_2 \sim N(\mu, 1)$。 - 三个统计量分别是： $$ \hat{\mu}_1 = \frac{2}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2, \quad \hat{\mu}_2 = \frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2, \quad \hat{\mu}_3 = \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{2}X_2 $$ --- ## **第一步：判断无偏性** 无偏估计量的定义是：期望值等于被估计参数，即： $$ \mathbb{E}[\hat{\mu}_i] = \mu $$ 由于 $X_1, X_2 \sim N(\mu, 1)$，所以 $\mathbb{E}[X_i] = \mu$，$\mathrm{Var}(X_i) = 1$ 计算期望： - $\mathbb{E}[\hat{\mu}_1] = \frac{2}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu = \mu$ - $\mathbb{E}[\hat{\mu}_2] = \frac{1}{4}\mu + \frac{3}{4}\mu = \mu$ - $\mathbb{E}[\hat{\mu}_3] = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{2}\mu = \mu$ ✅ **结论：A 是正确的**，$\hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2, \hat{\mu}_3$ 都是 $\mu$ 的无偏估计量。 --- ## **第二步：判断一致性** 一致性要求估计量随着样本量增大，其方差趋于 0。 但这里样本量是固定的（只有 2 个样本），所以不能严格谈“一致性”（因为样本量不趋于无穷）。 但若题目中“一致估计量”指的是“当样本量趋于无穷时，估计量依概率收敛于 $\mu$”，那么由于这些估计量都是样本的线性组合，且权重之和为 1，它们在样本量趋于无穷时也趋于 $\mu$，所以可以认为它们是**一致估计量**。 ✅ **结论：B 是正确的**，$\hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2, \hat{\mu}_3$ 都是一致估计量。 --- ## **第三步：判断有效性** 有效性指的是估计量的方差越小，越有效。 我们计算三个估计量的方差： 由于 $X_1, X_2$ 独立，$\mathrm{Var}(X_i) = 1$，所以： - $\mathrm{Var}(\hat{\mu}_1) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot 1 = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$ - $\mathrm{Var}(\hat{\mu}_2) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot 1 = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$ - $\mathrm{Var}(\hat{\mu}_3) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ 比较方差： - $\hat{\mu}_1$: $\frac{5}{9} \approx 0.556$ - $\hat{\mu}_2$: $\frac{5}{8} = 0.625$ - $\hat{\mu}_3$: $\frac{1}{2} = 0.5$ 所以 $\hat{\mu}_3$ 的方差最小，**最有效**。 ✅ **结论：C 是正确的**，$\hat{\mu}_3$ 比 $\hat{\mu}_1, \hat{\mu}_2$ 更有效。 --- ## **第四步：判断 D 选项** D 选项说：$\frac{\hat{\mu}_1 + \hat{\mu}_2}{2}$ 比 $\hat{\mu}_3$ 更有效。 我们计算 $\frac{\hat{\mu}_1 + \hat{\mu}_2}{2}$ 的方差。 先写出这个统计量： $$ \frac{\hat{\mu}_1 + \hat{\mu}_2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{4}X_1 + \frac{3}{4}X_2\right) $$ 合并同类项： $$ = \frac{1}{2} \left[\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{4}\right)X_1 + \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{4}\right)X_2\right] = \frac{1}{2} \left[\frac{11}{12}X_1 + \frac{13}{12}X_2\right] = \frac{11}{24}X_1 + \frac{13}{24}X_2 $$ 计算方差： $$ \mathrm{Var}\left(\frac{\hat{\mu}_1 + \hat{\mu}_2}{2}\right) = \left(\frac{11}{24}\right)^2 + \left(\frac{13}{24}\right)^2 = \frac{121 + 169}{576} = \frac{290}{576} \approx 0.503 $$ 而 $\mathrm{Var}(\hat{\mu}_3) = \frac{1}{2} = 0.5$ 所以 $\mathrm{Var}\left(\frac{\hat{\mu}_1 + \hat{\mu}_2}{2}\right) \approx 0.503 > 0.5$ ❌ **结论：D 是错误的**，$\frac{\hat{\mu}_1 + \hat{\mu}_2}{2}$ 的方差比 $\hat{\mu}_3$ 的方差大，所以不如 $\hat{\mu}_3$ 有效。 --- ## ✅ 最终答案： **错误的结论是：** $$ \boxed{D} $$