设 X_1, ..., X_n 是来自总体 X 的样本，EX = mu，DX = sigma^2，bar(X) 是样本均值，S^2 是样本方差，则().A. bar(X)^2 是 mu^2 的相合估计量，S 是 sigma 的相合估计量B. bar(X)^2 是 mu^2 的无偏估计量，S^2 是 sigma^2 的无偏估计量C. bar(X) 与 S^2 相互独立D. bar(X) 是 mu 的无偏估计量，S 是 sigma 的无偏估计量

本题主要考察数理统计中样本均值、样本方差的统计性质，包括无偏性、相合性（一致性）、独立性等，需逐一分析选项：

选项A：$\bar{X}^2$是$\mu^2$的相合估计量，$S$是$\sigma$的相合估计量

• 相合性判断：根据相合性定义，若估计量$\hat{\theta}_n$满足$\lim_{n \to \inftyinfty} P(|\hat{\hat{\theta}_n - \theta\}| < \varepsilon) = 1$对任意$\varepsilon>0$成立，则，则$\hat{\theta_n$是$\theta$的相合估计量。
  • 对于$\bar{X}^2$：样本均值$\bar{X} \xrightarrow{P} \mu}$（依概率收敛），由连续映射定理，$\bar{X}^2 \xrightarrow{P} \mu^2$，故$\bar{X}^2$是$\mu^2$的相合估计量。
  • 对于$S$：样本方差$S^2 \xrightarrow{P} \sigma^2$（相合性），同理由连续映射定理，$S = \sqrt{S^2} \xrightarrow{P} \sigma$，故$S$是$\sigma$的相合估计量。
    选项A正确。

**选项B：$\bar{X}^2$是$\mu^2$的无偏估计量，$S^2$是$\sigma^2$的无偏估计量

• 无偏性：$E(\hat{\theta}) = \theta$则为无偏估计。
  • $S^2$是$\sigma^2$的无偏估计量（样本方差定义），但$E(\bar{X}^2}) = D(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \neq \mu^2$（除非$\sigma=0$），故$\bar{X}^2$不是$\mu^2$的无偏估计量。
    选项B错误。

选项C：$\bar{X}$与$S^2$相互独立

-独立性条件：仅当总体$X$服从正态分布时，$\bar{X}$与$S^2$才相互独立；题目未说明总体分布，故一般情况下不成立。
选项C错误。

选项D：$\bar{X}$是$\mu$的无偏估计量，$S$是$\sigma$的无偏估计量

• $E(\bar{X}) = \mu$，故$\bar{X}$是$\mu$的无偏估计量，但$E(S) \neq \sigma$（样本标准差的期望不等于总体标准差，除非正态分布且$n$很大时近似），故$S$不是$\sigma$的无偏估计量。
  选项D错误。