题目
设总体 X sim N(0,1)，(X_1, X_2, ... X_6)为来自总体X的简单随机样本，则k=(）时，(ksum_(i=1)^4X_i^2)/(X_5^2+X_6^2) sim F(4,2)。A. (sqrt(2))/(2)B. 2C. sqrt(2)D. (1)/(2)
设总体 $X \sim N(0,1)$，$(X_1, X_2, \cdots X_6)$为来自总体$X$的简单随机样本，则$k=$(）时，$\frac{k\sum_{i=1}^{4}X_i^2}{X_5^2+X_6^2} \sim F(4,2)$。
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. 2
C. $\sqrt{2}$
D. $\frac{1}{2}$
题目解答
答案
D. $\frac{1}{2}$
解析
步骤 1：确定随机变量的分布
由于 $X_i \sim N(0,1)$，则 $X_i^2 \sim \chi^2(1)$。因此，$\sum_{i=1}^{4} X_i^2 \sim \chi^2(4)$，$X_5^2 + X_6^2 \sim \chi^2(2)$。
步骤 2：应用F分布的定义
根据F分布的定义，$F = \frac{\frac{\sum_{i=1}^{4} X_i^2}{4}}{\frac{X_5^2 + X_6^2}{2}} \sim F(4,2)$。化简得 $F = \frac{\sum_{i=1}^{4} X_i^2}{2(X_5^2 + X_6^2)}$。
步骤 3：对比原式与F分布的表达式
将原式 $\frac{k \sum_{i=1}^{4} X_i^2}{X_5^2 + X_6^2}$ 与 $F = \frac{\sum_{i=1}^{4} X_i^2}{2(X_5^2 + X_6^2)}$ 对比，可以得出 $k = \frac{1}{2}$。
由于 $X_i \sim N(0,1)$，则 $X_i^2 \sim \chi^2(1)$。因此，$\sum_{i=1}^{4} X_i^2 \sim \chi^2(4)$，$X_5^2 + X_6^2 \sim \chi^2(2)$。
步骤 2：应用F分布的定义
根据F分布的定义，$F = \frac{\frac{\sum_{i=1}^{4} X_i^2}{4}}{\frac{X_5^2 + X_6^2}{2}} \sim F(4,2)$。化简得 $F = \frac{\sum_{i=1}^{4} X_i^2}{2(X_5^2 + X_6^2)}$。
步骤 3：对比原式与F分布的表达式
将原式 $\frac{k \sum_{i=1}^{4} X_i^2}{X_5^2 + X_6^2}$ 与 $F = \frac{\sum_{i=1}^{4} X_i^2}{2(X_5^2 + X_6^2)}$ 对比，可以得出 $k = \frac{1}{2}$。