25.矩阵 =((a)_(u)) 称为上(下)三角形矩阵,如果 gt j(ilt j) 时有 _(y)=0. 证明:-|||-1)两个上(下)三角形矩阵的乘积仍是上(下)三角形矩阵;-|||-2)可逆的上(下)三角形矩阵的逆仍是上(下)三角形矩阵.

考查要点：本题主要考查上（下）三角形矩阵的乘积和逆矩阵的性质，需要掌握矩阵乘法的定义及逆矩阵的构造方法。

解题核心思路：

1. 乘积保持三角形结构：利用矩阵乘法的元素定义，分析乘积矩阵中非对角线上方（下方）的元素是否为零。
2. 逆矩阵的三角形结构：通过逆矩阵的定义和递推关系，结合行列式非零的性质，证明逆矩阵的非对角线元素为零。

破题关键点：

• 乘积矩阵元素分析：当计算乘积矩阵的第$i$行第$j$列元素时，若$i > j$（上三角形），需说明所有参与求和的项均为零。
• 逆矩阵构造：利用单位矩阵的结构，结合可逆条件（对角线元素非零），通过递推或分块矩阵法证明逆矩阵的三角形结构。

1) 两个上（下）三角形矩阵的乘积仍是上（下）三角形矩阵

证明思路：
设$A = (a_{ij})$和$B = (b_{ij})$均为上三角形矩阵，即当$i > j$时$a_{ij} = 0$，$b_{ij} = 0$。
乘积矩阵$C = AB = (c_{ij})$的元素为：
$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$
当$i > j$时，分析求和项：

• 若$k \leq j$，则$a_{ik} = 0$（因$i > j \geq k$）；
• 若$k > j$，则$b_{kj} = 0$（因$k > j$）。
  因此所有项均为零，即$c_{ij} = 0$，故$C$为上三角形矩阵。下三角形矩阵同理。

2) 可逆的上（下）三角形矩阵的逆仍是上（下）三角形矩阵

证明思路：
设$A$为可逆的上三角形矩阵，其逆矩阵$B = A^{-1}$满足$AB = E$。
考虑$AB$的第$j$列，当$i > j$时，有：
$\sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} = 0$
由于$A$的对角线元素$a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn} \neq 0$，通过递推可证$b_{kj} = 0$（当$k < j$时），从而$B$为上三角形矩阵。下三角形矩阵同理。