题目
设某车间有200同型号的机床，假定各机床工作相互独立，每台机床处于工作状态的概率为200，若每台机床工作时需要功率为200千瓦，问提供的总功率至少为多少，才能使该车间正常生产的概率不低于200。
设某车间有
同型号的机床，假定各机床工作相互独立，每台机床处于工作状态的概率为
，若每台机床工作时需要功率为
千瓦，问提供的总功率至少为多少，才能使该车间正常生产的概率不低于
。
题目解答
答案
设有
台机床开工，提供的总功率至少为
千瓦，才能使该车间正常生产的概率不低于，由已知
，
，由棣莫弗尔一拉普拉斯中心极限定理：
近似成立，
，而
，所以
，即
，所以提供的总功率至少为
千瓦，才能使该车间正常生产的概率不低于。
解析
步骤 1：确定随机变量
设X为处于工作状态的机床数量，X服从二项分布$B(200,0.7)$，其中n=200，p=0.7。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的期望和方差公式，我们有：
$EX = np = 200 \times 0.7 = 140$
$DX = np(1-p) = 200 \times 0.7 \times 0.3 = 42$
步骤 3：应用中心极限定理
由于n较大，根据棣莫弗尔-拉普拉斯中心极限定理，X近似服从正态分布$N(140,42)$。
步骤 4：计算总功率
设提供的总功率至少为a千瓦，才能使该车间正常生产的概率不低于95%。则有：
$P(X \leq \frac{a}{20}) = P(\frac{X - 140}{\sqrt{42}} \leq \frac{\frac{a}{20} - 140}{\sqrt{42}}) \geq 0.95$
查标准正态分布表，得$P(Z \leq 1.645) = 0.95$，其中Z为标准正态分布随机变量。
因此，$\frac{\frac{a}{20} - 140}{\sqrt{42}} \geq 1.645$，解得$a \geq 2929.6$。
设X为处于工作状态的机床数量，X服从二项分布$B(200,0.7)$，其中n=200，p=0.7。
步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的期望和方差公式，我们有：
$EX = np = 200 \times 0.7 = 140$
$DX = np(1-p) = 200 \times 0.7 \times 0.3 = 42$
步骤 3：应用中心极限定理
由于n较大，根据棣莫弗尔-拉普拉斯中心极限定理，X近似服从正态分布$N(140,42)$。
步骤 4：计算总功率
设提供的总功率至少为a千瓦，才能使该车间正常生产的概率不低于95%。则有：
$P(X \leq \frac{a}{20}) = P(\frac{X - 140}{\sqrt{42}} \leq \frac{\frac{a}{20} - 140}{\sqrt{42}}) \geq 0.95$
查标准正态分布表，得$P(Z \leq 1.645) = 0.95$，其中Z为标准正态分布随机变量。
因此，$\frac{\frac{a}{20} - 140}{\sqrt{42}} \geq 1.645$，解得$a \geq 2929.6$。