题目

设随机变量X与Y的方差分别为1与4，相关系数为0.5，则D(X+Y)=____

设随机变量X与Y的方差分别为1与4，相关系数为0.5，则 D(X+Y)=____

题目解答

答案

为了求解 $D(X+Y)$，我们需要使用方差的性质，特别是对于两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 的和的方差，其公式为： \[D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \text{Cov}(X, Y)\] 其中，$D(X)$ 和 $D(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差，$\text{Cov}(X, Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差。协方差可以通过相关系数 $\rho_{XY}$ 和 $X$、$Y$ 的标准差来计算，公式为： \[\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}\] 根据题目，我们已知 $D(X) = 1$，$D(Y) = 4$，$\rho_{XY} = 0.5$。首先，我们计算协方差 $\text{Cov}(X, Y)$: \[\text{Cov}(X, Y) = 0.5 \times \sqrt{1} \times \sqrt{4} = 0.5 \times 1 \times 2 = 1\] 现在，我们将 $D(X)$、$D(Y)$ 和 $\text{Cov}(X, Y)$ 代入方差的性质公式中： \[D(X+Y) = 1 + 4 + 2 \times 1 = 1 + 4 + 2 = 7\] 因此， $D(X+Y)$ 的值为 $\boxed{7}$。

解析

考查要点：本题主要考查随机变量和的方差公式及其应用，涉及协方差与相关系数的关系。

解题核心思路：

  1. 方差公式：利用公式 $D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$，需明确协方差 $\text{Cov}(X,Y)$ 的计算。
  2. 协方差与相关系数的关系：通过公式 $\text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}$，将已知相关系数转化为协方差。
  3. 代入计算：将已知方差和计算出的协方差代入方差公式，最终求得结果。

破题关键点：

  • 正确应用方差公式，注意公式中协方差的系数为 $2$。
  • 准确计算协方差，需注意相关系数与标准差的对应关系。

步骤1：写出方差公式
根据方差性质，随机变量和的方差公式为：
$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$

步骤2：计算协方差
协方差与相关系数的关系为：
$\text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}$
代入已知条件：

  • $D(X) = 1$，$\sqrt{D(X)} = 1$
  • $D(Y) = 4$，$\sqrt{D(Y)} = 2$
  • $\rho_{XY} = 0.5$

得：
$\text{Cov}(X,Y) = 0.5 \times 1 \times 2 = 1$

步骤3：代入方差公式
将 $D(X) = 1$，$D(Y) = 4$，$\text{Cov}(X,Y) = 1$ 代入公式：
$D(X+Y) = 1 + 4 + 2 \times 1 = 7$