题目
7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001.在某习-|||-的该时段内有1000辆汽车通过,求出事故的次数不小于2的概率(利用泊松定理).
题目解答
答案
本题考查了二项分布与泊松分布的转化关系，属于基础题。
设X表示出事故的次数，则$X\sim B(1000,0.0001)$,
$P(X=k)=C(0.0001)^k(0.9999)1000-k(k=0$,1,2,···,1000).
由泊松定理，近似有X~π(0.1),
P(X=k)≈$(0.1)^ke^{-0.1}/k$!(k=0,1,2,···,1000).
∴P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)
≈$1-e^{-0.1}-0.1e^{-0.1}=1-1.1e^{-0.1}$
≈0.0047.
设X表示出事故的次数，则$X\sim B(1000,0.0001)$,
$P(X=k)=C(0.0001)^k(0.9999)1000-k(k=0$,1,2,···,1000).
由泊松定理，近似有X~π(0.1),
P(X=k)≈$(0.1)^ke^{-0.1}/k$!(k=0,1,2,···,1000).
∴P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)
≈$1-e^{-0.1}-0.1e^{-0.1}=1-1.1e^{-0.1}$
≈0.0047.
解析
考查要点：本题主要考查二项分布向泊松分布的近似应用，以及泊松分布概率的计算。
解题核心思路：
当试验次数$n$很大，成功概率$p$很小，且乘积$\lambda = np$适中时，二项分布$B(n,p)$可以用泊松分布$\pi(\lambda)$近似。题目中$n=1000$，$p=0.0001$，满足$n$大、$p$小且$\lambda = np = 0.1$的条件，因此可直接应用泊松定理。
破题关键点：
- 确定参数$\lambda$：$\lambda = n \cdot p = 1000 \cdot 0.0001 = 0.1$。
- 利用泊松分布公式计算概率：
- $P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$
- 代入泊松公式$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$。
设$X$表示出事故的次数，则$X \sim B(1000, 0.0001)$。根据泊松定理，当$n$很大、$p$很小时，可用泊松分布$\pi(\lambda)$近似，其中$\lambda = n \cdot p = 0.1$。
计算步骤：
- 计算$P(X=0)$：
$P(X=0) = \frac{0.1^0 e^{-0.1}}{0!} = e^{-0.1} \approx 0.904837$ - 计算$P(X=1)$：
$P(X=1) = \frac{0.1^1 e^{-0.1}}{1!} = 0.1 e^{-0.1} \approx 0.090484$ - 计算$P(X \geq 2)$：
$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - e^{-0.1} - 0.1 e^{-0.1}$
$= 1 - 1.1 e^{-0.1} \approx 1 - 1.1 \cdot 0.904837 \approx 0.00468$