题目
5.某型号的灯管寿命(以小时计) backsim N(1000,(100)^2) (circled (1)(2)=0.9772 circled (1)(1)=0.8413-|||-(1)求灯管寿命在 -1200 小时的概率;-|||-(2)若规定寿命不低于900小时的灯管为一级品,求一支灯管是一级品的概率。I
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定正态分布的参数
灯管寿命 $X$ 服从正态分布 $N(1000, 100^2)$，其中均值 $\mu = 1000$，标准差 $\sigma = 100$。
步骤 2：计算灯管寿命在 $800\sim 1200$ 小时的概率
灯管寿命在 $800\sim 1200$ 小时的概率可以表示为 $P(800 \leq X \leq 1200)$。根据正态分布的性质，可以将这个概率转化为标准正态分布的概率。具体地，$P(800 \leq X \leq 1200) = P\left(\frac{800 - 1000}{100} \leq \frac{X - 1000}{100} \leq \frac{1200 - 1000}{100}\right) = P(-2 \leq Z \leq 2)$，其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，$P(-2 \leq Z \leq 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 2\Phi(2) - 1 = 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544$。
步骤 3：计算灯管寿命不低于900小时的概率
灯管寿命不低于900小时的概率可以表示为 $P(X \geq 900)$。根据正态分布的性质，可以将这个概率转化为标准正态分布的概率。具体地，$P(X \geq 900) = P\left(\frac{X - 1000}{100} \geq \frac{900 - 1000}{100}\right) = P(Z \geq -1)$，其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，$P(Z \geq -1) = 1 - P(Z \leq -1) = 1 - (1 - \Phi(1)) = \Phi(1) = 0.8413$。但是，由于我们要求的是不低于900小时的概率，所以需要加上中间部分的概率，即 $P(X \geq 900) = 1 - P(X \leq 900) = 1 - \frac{1}{2}(1 - \Phi(1)) = 1 - \frac{1}{2}(1 - 0.8413) = 0.92065$。
灯管寿命 $X$ 服从正态分布 $N(1000, 100^2)$，其中均值 $\mu = 1000$，标准差 $\sigma = 100$。
步骤 2：计算灯管寿命在 $800\sim 1200$ 小时的概率
灯管寿命在 $800\sim 1200$ 小时的概率可以表示为 $P(800 \leq X \leq 1200)$。根据正态分布的性质，可以将这个概率转化为标准正态分布的概率。具体地，$P(800 \leq X \leq 1200) = P\left(\frac{800 - 1000}{100} \leq \frac{X - 1000}{100} \leq \frac{1200 - 1000}{100}\right) = P(-2 \leq Z \leq 2)$，其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，$P(-2 \leq Z \leq 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 2\Phi(2) - 1 = 2 \times 0.9772 - 1 = 0.9544$。
步骤 3：计算灯管寿命不低于900小时的概率
灯管寿命不低于900小时的概率可以表示为 $P(X \geq 900)$。根据正态分布的性质，可以将这个概率转化为标准正态分布的概率。具体地，$P(X \geq 900) = P\left(\frac{X - 1000}{100} \geq \frac{900 - 1000}{100}\right) = P(Z \geq -1)$，其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，$P(Z \geq -1) = 1 - P(Z \leq -1) = 1 - (1 - \Phi(1)) = \Phi(1) = 0.8413$。但是，由于我们要求的是不低于900小时的概率，所以需要加上中间部分的概率，即 $P(X \geq 900) = 1 - P(X \leq 900) = 1 - \frac{1}{2}(1 - \Phi(1)) = 1 - \frac{1}{2}(1 - 0.8413) = 0.92065$。