已知在某十字路口,一周事故发生数的数学期望为2.2,标准差为1.4.-|||-(1)以X表示一年(以52周计)此十字路口事故发生数的算术平均,试用中-|||-心极限定理求X的近似分布,并求 overline {X)lt 2} .-|||-(2)求一年事故发生数小于100的概率.

中心极限定理是解决本题的核心。无论题目中的原始分布如何，当样本量足够大时，样本均值的分布近似正态分布。

1. 第一问的关键是确定样本均值$\overline{X}$的分布参数（均值和方差），再通过标准化转化为标准正态分布求概率。
2. 第二问需将总和问题转化为均值问题，再利用中心极限定理求解。

第（1）题

确定$\overline{X}$的分布

• 均值：$\displaystyle E(\overline{X}) = E(X) = 2.2$
• 方差：$\displaystyle D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{52} = \frac{1.4^2}{52}$
• 分布：由中心极限定理，$\overline{X} \sim N\left(2.2, \frac{1.4^2}{52}\right)$

计算$P\{\overline{X} < 2\}$

1. 标准化：
   $Z = \frac{2 - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} = \frac{-0.2}{\frac{1.4}{\sqrt{52}}} \approx \frac{-0.2}{0.192} \approx -1.04$
2. 查标准正态分布表：
   $\Phi(-1.04) \approx 0.1492$
   因此，$P\{\overline{X} < 2\} \approx 0.1492$

第（2）题

转化总和为均值

设一年事故发生数总和为$\displaystyle S = \sum_{i=1}^{52} X_i$，则$\displaystyle S < 100 \iff \overline{X} = \frac{S}{52} < \frac{100}{52} \approx 1.923$

计算概率

1. 标准化：
   $Z = \frac{1.923 - 2.2}{\sqrt{\frac{1.4^2}{52}}} = \frac{-0.277}{0.192} \approx -1.44$
2. 查标准正态分布表：
   $\Phi(-1.44) \approx 0.0755$
   因此，$P\{S < 100\} \approx 0.0755$