题目

2.(2021,I)设(X 1,Y1),(X2,Y2 ),···,(xn,Yn)为来自总体N(μ1,-|||-μ2;σ1^2,σ2^2;ρ)的简单随机样本,令 theta =(mu )_(1)-(mu )_(2), overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i), overline (Y)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(Y)_(i),-|||-hat (theta )=overline (X)-overline (Y), 则 () .-|||-(A)θ是θ的无偏估计, (hat (theta ))=dfrac ({{sigma )_(1)}^2+({sigma )_(2)}^2}(n)-|||-(B)θ不是θ的无偏估计, (hat (theta ))=dfrac ({{sigma )_(1)}^2+({sigma )_(2)}^2}(n)-|||-(C)θ是θ的无偏估计, (hat (theta ))=dfrac ({{sigma )_(1)}^2+({sigma )_(2)}^2-2rho (sigma )_(1)(sigma )_(2)}(n)-|||-(D)θ不是θ的无偏估计, (hat (theta ))=dfrac ({{sigma )_(1)}^2+({sigma )_(2)}^2-2rho ({sigma )_(1)(sigma )_(2)}}(n)

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二维正态分布下样本均值差的无偏性及方差计算，涉及协方差的处理。

解题核心思路：

  1. 无偏性：验证$\hat{\theta} = \overline{X} - \overline{Y}$的期望是否等于$\theta = \mu_1 - \mu_2$。
  2. 方差计算：利用方差性质展开$D(\hat{\theta})$，特别注意$\overline{X}$与$\overline{Y}$的协方差项。

破题关键点：

  • 无偏性：样本均值的线性组合保持无偏性。
  • 协方差处理：$\overline{X}$与$\overline{Y}$的协方差来源于原始变量$(X_i, Y_i)$的相关性$\rho$。

无偏性验证

  1. 计算期望：
    $E(\hat{\theta}) = E(\overline{X} - \overline{Y}) = E(\overline{X}) - E(\overline{Y}) = \mu_1 - \mu_2 = \theta$
    因此，$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计。

方差计算

  1. 方差展开：
    $D(\hat{\theta}) = D(\overline{X} - \overline{Y}) = D(\overline{X}) + D(\overline{Y}) - 2\text{Cov}(\overline{X}, \overline{Y})$

  2. 计算各部分：

    • $D(\overline{X}) = \dfrac{\sigma_1^2}{n}$，$D(\overline{Y}) = \dfrac{\sigma_2^2}{n}$
    • 协方差计算：
      $\text{Cov}(\overline{X}, \overline{Y}) = \text{Cov}\left(\dfrac{1}{n}\sum X_i, \dfrac{1}{n}\sum Y_j\right) = \dfrac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \text{Cov}(X_i, Y_i)$
      由于$(X_i, Y_i)$服从二维正态分布，$\text{Cov}(X_i, Y_i) = \rho \sigma_1 \sigma_2$，因此：
      $\text{Cov}(\overline{X}, \overline{Y}) = \dfrac{1}{n^2} \cdot n \rho \sigma_1 \sigma_2 = \dfrac{\rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$

  3. 代入方差公式：
    $D(\hat{\theta}) = \dfrac{\sigma_1^2}{n} + \dfrac{\sigma_2^2}{n} - 2 \cdot \dfrac{\rho \sigma_1 \sigma_2}{n} = \dfrac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho \sigma_1 \sigma_2}{n}$

结论：选项(C)正确。