题目
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，((P（B|A）))/((P（overline{B)|A）)}与((P（B|overline{A)）})/((P（overline{B)|overline{A)）}}的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R=((P（A|B）))/((P（overline{A)|B）)}•((P（overline{A)|overline(B)）})/((P（A|overline{B)）)}；（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|overline(B)）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：K2=(n（ad-bc）^2)/(（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）)． P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，$\frac{{P（B|A）}}{{P（\overline{B}|A）}}$与$\frac{{P（B|\overline{A}）}}{{P（\overline{B}|\overline{A}）}}$的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：R=$\frac{{P（A|B）}}{{P（\overline{A}|B）}}$•$\frac{{P（\overline{A}|\overline{B}）}}{{P（A|\overline{B}）}}$；
（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|$\overline{B}$）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
| 不够良好 | 良好 | |
| 病例组 | 40 | 60 |
| 对照组 | 10 | 90 |
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，$\frac{{P（B|A）}}{{P（\overline{B}|A）}}$与$\frac{{P（B|\overline{A}）}}{{P（\overline{B}|\overline{A}）}}$的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：R=$\frac{{P（A|B）}}{{P（\overline{A}|B）}}$•$\frac{{P（\overline{A}|\overline{B}）}}{{P（A|\overline{B}）}}$；
（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|$\overline{B}$）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
| P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
题目解答
答案
解：（1）补充列联表为：
计算K2=$\frac{200{×（40×90-10×60）}^{2}}{100×100×50×150}$=24＞6.635，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（2）（i）证明：R=$\frac{{P（B|A）}}{{P（\overline{B}|A）}}$：$\frac{{P（B|\overline{A}）}}{{P（\overline{B}|\overline{A}）}}$=$\frac{P（B|A）}{P（\overline{B}|A）}$•$\frac{P（\overline{B}|\overline{A}）}{P（B|\overline{A}）}$=$\frac{\frac{P（AB）}{P（A）}}{\frac{P（A\overline{B}）}{P（A）}}$•$\frac{\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（\overline{A}）}}{\frac{P（\overline{A}B）}{P（\overline{A}）}}$=$\frac{P（AB）•P（\overline{A}\overline{B}）}{P（A\overline{B}）•P（\overline{A}B）}$=$\frac{\frac{P（AB）}{P（B）}}{\frac{P（\overline{A}B）}{P（B）}}$•$\frac{\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（\overline{B}）}}{\frac{P（A\overline{B}）}{P（\overline{B}）}}$=$\frac{{P（A|B）}}{{P（\overline{A}|B）}}•\frac{{P（\overline{A}|\overline{B}）}}{{P（A|\overline{B}）}}$；
（ⅱ）利用调查数据，P（A|B）=$\frac{40}{100}$=$\frac{2}{5}$，$P（A|\overline{B}）$=$\frac{10}{100}$=$\frac{1}{10}$，P（$\overline{A}$|B）=1-P（A|B）=$\frac{3}{5}$，P（$\overline{A}$|$\overline{B}$）=1-P（A|$\overline{B}$）=$\frac{9}{10}$，
所以R=$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}}$×$\frac{\frac{9}{10}}{\frac{1}{10}}$=6．
| 不够良好 | 良好 | 合计 | |
| 病例组 | 40 | 60 | 100 |
| 对照组 | 10 | 90 | 100 |
| 合计 | 50 | 150 | 200 |
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（2）（i）证明：R=$\frac{{P（B|A）}}{{P（\overline{B}|A）}}$：$\frac{{P（B|\overline{A}）}}{{P（\overline{B}|\overline{A}）}}$=$\frac{P（B|A）}{P（\overline{B}|A）}$•$\frac{P（\overline{B}|\overline{A}）}{P（B|\overline{A}）}$=$\frac{\frac{P（AB）}{P（A）}}{\frac{P（A\overline{B}）}{P（A）}}$•$\frac{\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（\overline{A}）}}{\frac{P（\overline{A}B）}{P（\overline{A}）}}$=$\frac{P（AB）•P（\overline{A}\overline{B}）}{P（A\overline{B}）•P（\overline{A}B）}$=$\frac{\frac{P（AB）}{P（B）}}{\frac{P（\overline{A}B）}{P（B）}}$•$\frac{\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（\overline{B}）}}{\frac{P（A\overline{B}）}{P（\overline{B}）}}$=$\frac{{P（A|B）}}{{P（\overline{A}|B）}}•\frac{{P（\overline{A}|\overline{B}）}}{{P（A|\overline{B}）}}$；
（ⅱ）利用调查数据，P（A|B）=$\frac{40}{100}$=$\frac{2}{5}$，$P（A|\overline{B}）$=$\frac{10}{100}$=$\frac{1}{10}$，P（$\overline{A}$|B）=1-P（A|B）=$\frac{3}{5}$，P（$\overline{A}$|$\overline{B}$）=1-P（A|$\overline{B}$）=$\frac{9}{10}$，
所以R=$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}}$×$\frac{\frac{9}{10}}{\frac{1}{10}}$=6．