题目
8.设x1,x2,···,xn是来自 U(-1,1) 的样本,试求E(x )和Var(x).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定均匀分布的期望值
均匀分布 U(-1,1) 的期望值 E(X) 可以通过计算区间中点来确定。对于区间 [-1,1]，中点为 0，因此 E(X) = 0。
步骤 2：确定均匀分布的方差
均匀分布 U(-1,1) 的方差 Var(X) 可以通过公式 Var(X) = (b-a)^2/12 来计算，其中 a 和 b 分别是区间的下限和上限。对于区间 [-1,1]，a = -1，b = 1，因此 Var(X) = (1 - (-1))^2 / 12 = 4 / 12 = 1/3。
步骤 3：计算样本均值的期望值和方差
样本均值 x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n。由于每个 xi 都是独立同分布的，且 E(xi) = 0，Var(xi) = 1/3，因此 E(x̄) = E((x1 + x2 + ... + xn) / n) = (E(x1) + E(x2) + ... + E(xn)) / n = 0，Var(x̄) = Var((x1 + x2 + ... + xn) / n) = (Var(x1) + Var(x2) + ... + Var(xn)) / n^2 = (1/3 + 1/3 + ... + 1/3) / n^2 = n * (1/3) / n^2 = 1/3n。
均匀分布 U(-1,1) 的期望值 E(X) 可以通过计算区间中点来确定。对于区间 [-1,1]，中点为 0，因此 E(X) = 0。
步骤 2：确定均匀分布的方差
均匀分布 U(-1,1) 的方差 Var(X) 可以通过公式 Var(X) = (b-a)^2/12 来计算，其中 a 和 b 分别是区间的下限和上限。对于区间 [-1,1]，a = -1，b = 1，因此 Var(X) = (1 - (-1))^2 / 12 = 4 / 12 = 1/3。
步骤 3：计算样本均值的期望值和方差
样本均值 x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n。由于每个 xi 都是独立同分布的，且 E(xi) = 0，Var(xi) = 1/3，因此 E(x̄) = E((x1 + x2 + ... + xn) / n) = (E(x1) + E(x2) + ... + E(xn)) / n = 0，Var(x̄) = Var((x1 + x2 + ... + xn) / n) = (Var(x1) + Var(x2) + ... + Var(xn)) / n^2 = (1/3 + 1/3 + ... + 1/3) / n^2 = n * (1/3) / n^2 = 1/3n。