题目

23.单选题设X_(1),X_(2),...,X_(16)为取自总体Xsim N(0,0.5^2)的一个样本，若已知X_(001)^2(16)=32.0，则P(sum_(i=1)^16X_(i)^2geq8)=____.A 0.02B 0.99C 0.98D 0.01

23.单选题 设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{16}$为取自总体$X\sim N(0,0.5^{2})$的一个样本，若已知$X_{001}^{2}(16)=32.0$，则$P(\sum_{i=1}^{16}X_{i}^{2}\geq8)$=____. A 0.02 B 0.99 C 0.98 D 0.01

题目解答

答案

设 $X_1, X_2, \cdots, X_{16}$ 为取自总体 $X \sim N(0, 0.5^2)$ 的样本，令 $Y_i = 2X_i$，则 $Y_i \sim N(0, 1)$。 由卡方分布性质，$\sum_{i=1}^{16} Y_i^2 \sim \chi^2(16)$，且 \[ \sum_{i=1}^{16} Y_i^2 = 4 \sum_{i=1}^{16} X_i^2. \] 令 $Z = \sum_{i=1}^{16} X_i^2$，则 $4Z \sim \chi^2(16)$。 已知 $\chi^2_{0.01}(16) = 32.0$，即 \[ P(4Z \geq 32) = P(\chi^2(16) \geq 32) = 0.01. \] 因此，$P(Z \geq 8) = 0.01$。 答案：$\boxed{D}$

解析

本题考查正态分布、卡方分布的性质以及概率的计算。解题的关键思路是先将总体$X$进行标准化变换，使其服从标准正态分布，再利用卡方分布的定义得到相关统计量服从卡方分布，最后结合已知的卡方分布分位数来计算所求概率。

  1. 标准化变换：
    已知$X_{i}\sim N(0,0.5^{2})$，根据正态分布的性质，若$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，则$\frac{X - \mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。
    对于$X_{i}$，令$Y_{i}=\frac{X_{i}-0}{0.5}=2X_{i}$，那么$Y_{i}\sim N(0,1)$，$i = 1,2,\cdots,16$。
  2. 构造卡方分布：
    由卡方分布的定义可知，若$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{n}$相互独立且都服从标准正态分布$N(0,1)$，则$\sum_{i = 1}^{n}Y_{i}^{2}\sim\chi^{2}(n)$。
    因为$Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{16}$相互独立且都服从$N(0,1)$，所以$\sum_{i = 1}^{16}Y_{i}^{2}\sim\chi^{2}(16)$。
    又因为$Y_{i}=2X_{i}$，所以$\sum_{i = 1}^{16}Y_{i}^{2}=\sum_{i = 1}^{16}(2X_{i})^{2}=4\sum_{i = 1}^{16}X_{i}^{2}$，即$4\sum_{i = 1}^{16}X_{i}^{2}\sim\chi^{2}(16)$。
  3. 计算所求概率：
    令$Z = \sum_{i = 1}^{16}X_{i}^{2}$，则$4Z\sim\chi^{2}(16)$。
    已知$\chi_{0.01}^{2}(16)=32.0$，根据卡方分布分位数的定义，$\chi_{\alpha}^{2}(n)$满足$P(\chi^{2}(n)\geq\chi_{\alpha}^{2}(n))=\alpha$。
    所以$P(4Z\geq32)=P(\chi^{2}(16)\geq32)=0.01$。
    而$P(4Z\geq32)=P(Z\geq\frac{32}{4})=P(Z\geq8)$，即$P(\sum_{i = 1}^{16}X_{i}^{2}\geq8)=0.01$。