题目
设 X_1, X_2, dotsc, X_n 是来自总体 X 的一个样本，且 X sim P(lambda)，则 P X = 0的最大似然估计量为 ()。 A. e^-4overline X B. e^-3overline X C. e^- overline X D. e^-2overline X
$$ 设 $X\_1, X\_2, \dotsc, X\_n $是来自总体 $X $的一个样本，且 $X \sim P(\lambda)$，则 $P \{ X = 0\}$的最大似然估计量为 ()。 $$
A. $$ $e^{-4\overline X}$ $$
B. $$ $e^{-3\overline X}$ $$
C. $$ $e^{- \overline X}$ $$
D. $$ $e^{-2\overline X}$ $$
题目解答
答案
C. $$ $e^{- \overline X}$ $$
解析
步骤 1：理解问题背景
题目要求我们找到 $P \{ X = 0\}$ 的最大似然估计量，其中 $X$ 是一个服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布的随机变量。样本 $X_1, X_2, \dotsc, X_n$ 来自总体 $X$。
步骤 2：写出似然函数
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $k$ 是非负整数。对于样本 $X_1, X_2, \dotsc, X_n$，似然函数为 $L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{X_i} e^{-\lambda}}{X_i!}$。
步骤 3：求最大似然估计量
对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} X_i \ln \lambda - n\lambda - \sum_{i=1}^{n} \ln X_i!$。对 $\lambda$ 求导并令导数等于零，得到 $\frac{\partial \ln L(\lambda)}{\partial \lambda} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{\lambda} - n = 0$。解得 $\lambda = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n} = \overline{X}$，即 $\lambda$ 的最大似然估计量为样本均值 $\overline{X}$。
步骤 4：计算 $P \{ X = 0\}$ 的最大似然估计量
根据泊松分布的概率质量函数，$P \{ X = 0\} = e^{-\lambda}$。将 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\overline{X}$ 代入，得到 $P \{ X = 0\}$ 的最大似然估计量为 $e^{-\overline{X}}$。
题目要求我们找到 $P \{ X = 0\}$ 的最大似然估计量，其中 $X$ 是一个服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布的随机变量。样本 $X_1, X_2, \dotsc, X_n$ 来自总体 $X$。
步骤 2：写出似然函数
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $k$ 是非负整数。对于样本 $X_1, X_2, \dotsc, X_n$，似然函数为 $L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{X_i} e^{-\lambda}}{X_i!}$。
步骤 3：求最大似然估计量
对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(\lambda) = \sum_{i=1}^{n} X_i \ln \lambda - n\lambda - \sum_{i=1}^{n} \ln X_i!$。对 $\lambda$ 求导并令导数等于零，得到 $\frac{\partial \ln L(\lambda)}{\partial \lambda} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{\lambda} - n = 0$。解得 $\lambda = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n} = \overline{X}$，即 $\lambda$ 的最大似然估计量为样本均值 $\overline{X}$。
步骤 4：计算 $P \{ X = 0\}$ 的最大似然估计量
根据泊松分布的概率质量函数，$P \{ X = 0\} = e^{-\lambda}$。将 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\overline{X}$ 代入，得到 $P \{ X = 0\}$ 的最大似然估计量为 $e^{-\overline{X}}$。