3.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在两种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率.(1)放回 (2)不放回
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要确定在两种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率：(1)放回，和(2)不放回。
情况1：放回
在放回的情况下，每次抽取都是独立的，抽到合格品的概率是 $\frac{10}{13}$，抽到次品的概率是 $\frac{3}{13}$。
设 $X$ 是直到取出合格品为止的抽取次数。 $X$ 可以取值 $1, 2, 3, \ldots$。
- $X = 1$ 的概率是抽到合格品的概率，即 $P(X = 1) = \frac{10}{13}$。
- $X = 2$ 的概率是先抽到次品，然后抽到合格品的概率，即 $P(X = 2) = \left(\frac{3}{13}\right) \left(\frac{10}{13}\right) = \frac{30}{169}$。
- $X = 3$ 的概率是先抽到两个次品，然后抽到合格品的概率，即 $P(X = 3) = \left(\frac{3}{13}\right)^2 \left(\frac{10}{13}\right) = \frac{90}{2197}$。
- 一般地， $X = k$ 的概率是先抽到 $k-1$ 个次品，然后抽到合格品的概率，即 $P(X = k) = \left(\frac{3}{13}\right)^{k-1} \left(\frac{10}{13}\right)$。
因此，直到取出合格品为止的抽取次数的分布率是：
$P(X = k) = \left(\frac{3}{13}\right)^{k-1} \left(\frac{10}{13}\right) \quad \text{对于} \quad k = 1, 2, 3, \ldots$
情况2：不放回
在不放回的情况下，每次抽取都不是独立的，因为每次抽到次品后，次品的数量和总产品的数量都会减少。
设 $Y$ 是直到取出合格品为止的抽取次数。 $Y$ 可以取值 $1, 2, 3, 4$（因为只有3个次品，最多可以在前3次抽取次品，然后在第4次抽取合格品）。
- $Y = 1$ 的概率是抽到合格品的概率，即 $P(Y = 1) = \frac{10}{13}$。
- $Y = 2$ 的概率是先抽到次品，然后抽到合格品的概率，即 $P(Y = 2) = \left(\frac{3}{13}\right) \left(\frac{10}{12}\right) = \frac{30}{156} = \frac{5}{26}$。
- $Y = 3$ 的概率是先抽到两个次品，然后抽到合格品的概率，即 $P(Y = 3) = \left(\frac{3}{13}\right) \left(\frac{2}{12}\right) \left(\frac{10}{11}\right) = \frac{60}{156 \cdot 11} = \frac{30}{11 \cdot 78} = \frac{30}{858} = \frac{5}{143}$。
- $Y = 4$ 的概率是先抽到三个次品，然后抽到合格品的概率，即 $P(Y = 4) = \left(\frac{3}{13}\right) \left(\frac{2}{12}\right) \left(\frac{1}{11}\right) \left(\frac{10}{10}\right) = \frac{6}{156 \cdot 11} = \frac{3}{11 \cdot 78} = \frac{3}{858} = \frac{1}{286}$。
因此，直到取出合格品为止的抽取次数的分布率是：
$P(Y = 1) = \frac{10}{13}, \quad P(Y = 2) = \frac{5}{26}, \quad P(Y = 3) = \frac{5}{143}, \quad P(Y = 4) = \frac{1}{286}$
最终答案是：
$\boxed{P(X = k) = \left(\frac{3}{13}\right)^{k-1} \left(\frac{10}{13}\right) \quad \text{对于} \quad k = 1, 2, 3, \ldots}$
$\boxed{P(Y = 1) = \frac{10}{13}, \quad P(Y = 2) = \frac{5}{26}, \quad P(Y = 3) = \frac{5}{143}, \quad P(Y = 4) = \frac{1}{286}}$
解析
本题主要考查离散型随机变量分布率的求解，需要根据有放回和无放回抽样的不同特点，分别计算直到取出合格品为止的抽取次数的分布率。
情况1：放回抽样
在放回抽样中，每次抽取都是相互独立的事件，每次抽到合格品的概率和抽到次品的概率保持不变。
设抽到合格品的概率为$p$，抽到次品的概率为$q$，已知产品总数为$10 + 3 = 13$个，其中合格品$10$个，次品$3$个，则$p=\frac{10}{13}$，$q = \frac{3}{13}$。
设$X$是直到取出合格品为止的抽取次数，$X$的可能取值为$1, 2, 3, \ldots$。
- 当$X = 1$时，即第一次就抽到合格品，其概率为$P(X = 1) = p=\frac{10}{13}$。
- 当$X = 2$时，意味着第一次抽到次品，第二次抽到合格品。由于每次抽取相互独立，根据独立事件概率乘法公式，其概率为$P(X = 2) = q\times p=\left(\frac{3}{13}\right) \times \left(\frac{10}{13}\right) = \frac{30}{169}$。
- 当$X = 3$时，即前两次抽到次品，第三次抽到合格品，同理可得其概率为$P(X = 3) = q^2\times p=\left(\frac{3}{13}\right)^2 \times \left(\frac{10}{13}\right) = \frac{90}{2197}$。
- 以此类推，当$X = k$时，即前$k - 1$次抽到次品，第$k$次抽到合格品，其概率为$P(X = k) = q^{k - 1}\times p=\left(\frac{3}{13}\right)^{k - 1} \left(\frac{10}{13}\right)$，$k = 1, 2, 3, \ldots$。
情况2：不放回抽样
在不放回抽样中，每次抽取后产品总数和次品数量都会发生变化，所以每次抽取不是相互独立的事件。
设$Y$是直到取出合格品为止的抽取次数，因为只有$3$个次品，所以$Y$的可能取值为$1, 2, 3, 4$。
- 当$Y = 1$时，即第一次就抽到合格品，其概率为$P(Y = 1) = \frac{10}{13}$。
- 当$Y = 2$时，意味着第一次抽到次品，第二次抽到合格品。第一次抽到次品的概率为$\frac{3}{13}$，此时剩下$12$个产品，其中合格品$10$个，所以第二次抽到合格品的概率为$\frac{10}{12}$。根据分步乘法计数原理，其概率为$P(Y = 2) = \frac{3}{13} \times \frac{10}{12} = \frac{30}{156} = \frac{5}{26}$。
- 当$Y = 3$时，即前两次抽到次品，第三次抽到合格品。第一次抽到次品的概率为$\frac{3}{13}$，第二次抽到次品的概率为$\frac{2}{12}$（因为第一次抽走一个次品后还剩$2$个次品和$12$个产品），此时剩下$11$个产品，其中合格品$10$个，所以第三次抽到合格品的概率为$\frac{10}{11}$。根据分步乘法计数原理，其概率为$P(Y = 3) = \frac{3}{13} \times \frac{2}{12} \times \frac{10}{11} = \frac{60}{156\times11} = \frac{30}{11\times78} = \frac{30}{858} = \frac{5}{143}$。
- 当$Y = 4$时，即前三次抽到次品，第四次抽到合格品。第一次抽到次品的概率为$\frac{3}{13}$，第二次抽到次品的概率为$\frac{2}{12}$，第三次抽到次品的概率为$\frac{1}{11}$，此时剩下$10$个产品，全是合格品，所以第四次抽到合格品的概率为$\frac{10}{10}=1$。根据分步乘法计数原理，其概率为$P(Y = 4) = \frac{3}{13} \times \frac{2}{12} \times \frac{1}{11} \times 1 = \frac{6}{156\times11} = \frac{3}{11\times78} = \frac{3}{858} = \frac{1}{286}$。