题目
设随机变量X,Y同分布,X~N(0,1),且X, Y不相关,则下列说法正确的是( ).(A)P(X=Y) =1 (B)X+Y与X-Y不相关(C)X Y相互独立(D) (X,Y)服从二维正态分布
设随机变量X,Y同分布,X~N(0,1),且X, Y不相关,则下列说法正确的是( ).
(A)P{X=Y} =1
(B)X+Y与X-Y不相关
(C)X Y相互独立
(D) (X,Y)服从二维正态分布
题目解答
答案
解：B
解析：
(A) 对于P{X=Y}=1：
由于X和Y都是连续型随机变量（正态分布），它们取到某个具体值的概率为0。即，P{X=a}=0 和 P{Y=a}=0 对所有实数a都成立。因此，P{X=Y}=0，与选项(A)的说法相矛盾。
(B) 对于X+Y与X−Y不相关：
首先，由于X和Y都是N(0,1)分布，且它们不相关，那么它们的协方差为0，即Cov(X,Y)=0。
计算X+Y和X−Y的协方差：
Cov(X+Y,X−Y)=Cov(X,X)−Cov(X,Y)+Cov(Y,X)−Cov(Y,Y)
=Var(X)−0+0−Var(Y)
=1−0+0−1
=0
由于协方差为0，所以X+Y与X−Y不相关。选项(B)正确。
(C) 对于X和Y相互独立：
不相关并不意味着独立。对于正态分布来说，如果两个随机变量独立，则它们一定不相关；但如果不相关，并不能推出它们独立。因此，仅凭X和Y不相关，不能断定它们独立。选项(C)错误。
(D) 对于(X,Y)服从二维正态分布：
虽然X和Y都服从N(0,1)分布，且它们不相关，但这并不能保证(X,Y)服从二维正态分布。二维正态分布还需要满足X和Y的联合密度函数具有特定的形式。题目中并未给出这样的信息，因此不能断定(X,Y)服从二维正态分布。选项(D)错误。
综上，只有选项(B)是正确的。
解析
步骤 1：分析选项(A)
对于P{X=Y}=1：
由于X和Y都是连续型随机变量（正态分布），它们取到某个具体值的概率为0。即，P{X=a}=0 和 P{Y=a}=0 对所有实数a都成立。因此，P{X=Y}=0，与选项(A)的说法相矛盾。
步骤 2：分析选项(B)
对于X+Y与X−Y不相关：
首先，由于X和Y都是N(0,1)分布，且它们不相关，那么它们的协方差为0，即Cov(X,Y)=0。
计算X+Y和X−Y的协方差：
Cov(X+Y,X−Y)=Cov(X,X)−Cov(X,Y)+Cov(Y,X)−Cov(Y,Y)
=Var(X)−0+0−Var(Y)
=1−0+0−1
=0
由于协方差为0，所以X+Y与X−Y不相关。选项(B)正确。
步骤 3：分析选项(C)
对于X和Y相互独立：
不相关并不意味着独立。对于正态分布来说，如果两个随机变量独立，则它们一定不相关；但如果不相关，并不能推出它们独立。因此，仅凭X和Y不相关，不能断定它们独立。选项(C)错误。
步骤 4：分析选项(D)
对于(X,Y)服从二维正态分布：
虽然X和Y都服从N(0,1)分布，且它们不相关，但这并不能保证(X,Y)服从二维正态分布。二维正态分布还需要满足X和Y的联合密度函数具有特定的形式。题目中并未给出这样的信息，因此不能断定(X,Y)服从二维正态分布。选项(D)错误。
综上，只有选项(B)是正确的。
对于P{X=Y}=1：
由于X和Y都是连续型随机变量（正态分布），它们取到某个具体值的概率为0。即，P{X=a}=0 和 P{Y=a}=0 对所有实数a都成立。因此，P{X=Y}=0，与选项(A)的说法相矛盾。
步骤 2：分析选项(B)
对于X+Y与X−Y不相关：
首先，由于X和Y都是N(0,1)分布，且它们不相关，那么它们的协方差为0，即Cov(X,Y)=0。
计算X+Y和X−Y的协方差：
Cov(X+Y,X−Y)=Cov(X,X)−Cov(X,Y)+Cov(Y,X)−Cov(Y,Y)
=Var(X)−0+0−Var(Y)
=1−0+0−1
=0
由于协方差为0，所以X+Y与X−Y不相关。选项(B)正确。
步骤 3：分析选项(C)
对于X和Y相互独立：
不相关并不意味着独立。对于正态分布来说，如果两个随机变量独立，则它们一定不相关；但如果不相关，并不能推出它们独立。因此，仅凭X和Y不相关，不能断定它们独立。选项(C)错误。
步骤 4：分析选项(D)
对于(X,Y)服从二维正态分布：
虽然X和Y都服从N(0,1)分布，且它们不相关，但这并不能保证(X,Y)服从二维正态分布。二维正态分布还需要满足X和Y的联合密度函数具有特定的形式。题目中并未给出这样的信息，因此不能断定(X,Y)服从二维正态分布。选项(D)错误。
综上，只有选项(B)是正确的。