25.[填空题]平面x+2y-z-3=0和平面2x+y+z+5=0的夹角是____ 第一空： ——

平面 $x + 2y - z - 3 = 0$ 的法向量为 $\overrightarrow{m} = (1, 2, -1)$，平面 $2x + y + z + 5 = 0$ 的法向量为 $\overrightarrow{n} = (2, 1, 1)$。 计算点积： $\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 3$ 计算模长： $|\overrightarrow{m}| = \sqrt{6}, \quad |\overrightarrow{n}| = \sqrt{6}$ 夹角余弦值： $\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}| |\overrightarrow{n}|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ 夹角： $\theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ$ 答案： $\boxed{60^\circ}$