2.某厂一种元件平均使用寿命为1200h (偏低),现厂里进行技术革新,革新后任选8-|||-个元件进行寿命试验,测得寿命数据如下:-|||-2686 2001 2082 792 1660 41 416 2089.-|||-假定元件寿命服从指数分布,取 alpha =0.05, 问革新后元件的平均寿命是否有明显提高?

步骤 1：确定假设
- 原假设 $H_0$：革新后元件的平均寿命 $\mu \leq 1200$ 小时。
- 备择假设 $H_1$：革新后元件的平均寿命 $\mu > 1200$ 小时。

步骤 2：计算样本均值
- 样本数据：2686, 2001, 2082, 792, 1660, 41, 416, 2089。
- 样本均值 $\bar{x} = \frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8} x_i = \frac{1}{8} (2686 + 2001 + 2082 + 792 + 1660 + 41 + 416 + 2089) = \frac{1}{8} \times 11767 = 1470.875$ 小时。

步骤 3：计算检验统计量
- 由于元件寿命服从指数分布，其均值 $\mu = \frac{1}{\lambda}$，其中 $\lambda$ 是指数分布的参数。
- 样本均值 $\bar{x} = 1470.875$ 小时，因此 $\lambda = \frac{1}{1470.875}$。
- 检验统计量 $T = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$，其中 $\mu_0 = 1200$ 小时，$\sigma = \frac{1}{\lambda} = 1470.875$ 小时，$n = 8$。
- $T = \frac{1470.875 - 1200}{1470.875 / \sqrt{8}} = \frac{270.875}{519.56} = 0.521$。

步骤 4：确定临界值
- 由于 $\alpha = 0.05$，自由度 $df = n - 1 = 7$，查 t 分布表得临界值 $t_{0.05,7} = 1.895$。

步骤 5：比较检验统计量与临界值
- 检验统计量 $T = 0.521 < 1.895$，因此不拒绝原假设。

步骤 6：得出结论
- 由于不拒绝原假设，因此革新后元件的平均寿命没有明显提高。