题目

F(A,B,C,D)=overline(CD)，它包含了________个最小项，F(A,B,C,D)=Aoverline(CD)包含了________个最小项。

$F(A,B,C,D)=\overline{CD}$，它包含了________个最小项，$F(A,B,C,D)=A\overline{CD}$包含了________个最小项。

题目解答

答案

1. 对 $ F(A, B, C, D) = \overline{C}D $，可分解为： \[ \overline{C}D = AB\overline{C}D + A\overline{B}\overline{C}D + \overline{A}B\overline{C}D + \overline{A}\overline{B}\overline{C}D \] 共包含 4 个最小项：$ m_1, m_5, m_9, m_{13} $。 2. 对 $ F(A, B, C, D) = A\overline{C}D $，可分解为： \[ A\overline{C}D = AB\overline{C}D + A\overline{B}\overline{C}D \] 共包含 2 个最小项：$ m_9, m_{13} $。 答案： 第一空：4 第二空：2

解析

考查要点：本题主要考查逻辑函数中最小项的概念及展开方法。
解题核心思路：

  1. 最小项定义：四个变量的最小项是包含所有变量的乘积项，每个变量以原变量或反变量形式出现一次。
  2. 未出现变量的处理：若函数表达式中某些变量未出现，则需将这些变量的所有可能取值组合补充完整，从而得到所有对应的最小项。
    破题关键点：
  • 确定未约束变量的数量：根据表达式中未出现的变量个数，计算可能的组合数（$2^n$，其中$n$为未约束变量数）。
  • 展开表达式：将原函数表达式展开为所有未约束变量组合的最小项之和。

第一空：$F(A,B,C,D)=\overline{C}D$

  1. 分析未约束变量：表达式中未出现变量$A$和$B$，因此它们的取值可以是$0$或$1$，共有$2^2=4$种组合。
  2. 展开表达式：
    $\overline{C}D = AB\overline{C}D + A\overline{B}\overline{C}D + \overline{A}B\overline{C}D + \overline{A}\overline{B}\overline{C}D$
  3. 对应最小项编号：
    • $AB\overline{C}D$ 对应 $m_1$（二进制 $0001$，变量顺序 $A,B,C,D$）
    • $A\overline{B}\overline{C}D$ 对应 $m_5$（二进制 $0101$）
    • $\overline{A}B\overline{C}D$ 对应 $m_9$（二进制 $1001$）
    • $\overline{A}\overline{B}\overline{C}D$ 对应 $m_{13}$（二进制 $1101$）
      结论：共包含 4 个最小项。

第二空：$F(A,B,C,D)=A\overline{C}D$

  1. 分析未约束变量：表达式中未出现变量$B$，因此它的取值可以是$0$或$1$，共有$2^1=2$种组合。
  2. 展开表达式：
    $A\overline{C}D = AB\overline{C}D + A\overline{B}\overline{C}D$
  3. 对应最小项编号：
    • $AB\overline{C}D$ 对应 $m_9$（二进制 $1001$）
    • $A\overline{B}\overline{C}D$ 对应 $m_{13}$（二进制 $1101$）
      结论：共包含 2 个最小项。