题目
7． 一批产品的不合格率为 0.02，现从中任取 40 件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品．分别用以下方法求拒收的概率：（1）用二项分布作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算．
7． 一批产品的不合格率为 0.02，现从中任取 40 件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品．分别用以下方法求拒收的概率：（1）用二项分布作精确计算；（2）用泊松分布作近似计算．
题目解答
答案
解：设 X 表示发现的不合格品个数，有 X 服从二项分布 b (40, 0.02)，⎛40⎞（1）所求概率为 P{X ≥ 2} =1− P{X = 0} − P{X =1} =1− 0.9840− ⎜⎜ 1 ⎟⎟ × 0.02× 0.9839= 0.1905；⎝⎠（2）因 n = 40 较大，p = 0.02 很小，取λ = np = 0.8，有 X ~& P(0.8) ，故查表可得所求概率为 P{X ≥ 2} =1− P{X ≤1} =1− 0.809 = 0.191．
解析
步骤 1：定义随机变量
设 X 表示在 40 件产品中发现的不合格品个数。根据题意，X 服从二项分布 b(40, 0.02)，其中 n = 40，p = 0.02。
步骤 2：精确计算
根据二项分布的概率公式，P{X = k} = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中 C(n, k) 表示从 n 个不同元素中取 k 个元素的组合数。
- P{X = 0} = C(40, 0) * (0.02)^0 * (0.98)^40 = 1 * 1 * (0.98)^40 = (0.98)^40
- P{X = 1} = C(40, 1) * (0.02)^1 * (0.98)^39 = 40 * 0.02 * (0.98)^39 = 0.8 * (0.98)^39
- P{X ≥ 2} = 1 - P{X = 0} - P{X = 1} = 1 - (0.98)^40 - 0.8 * (0.98)^39
计算结果为 P{X ≥ 2} = 1 - (0.98)^40 - 0.8 * (0.98)^39 = 0.1905。
步骤 3：近似计算
当 n 较大，p 很小，且 np = λ 时，二项分布可以近似为泊松分布。这里 n = 40，p = 0.02，λ = np = 0.8。
- P{X ≥ 2} = 1 - P{X = 0} - P{X = 1} = 1 - e^(-λ) - λ * e^(-λ) = 1 - e^(-0.8) - 0.8 * e^(-0.8)
计算结果为 P{X ≥ 2} = 1 - e^(-0.8) - 0.8 * e^(-0.8) = 0.191。
设 X 表示在 40 件产品中发现的不合格品个数。根据题意，X 服从二项分布 b(40, 0.02)，其中 n = 40，p = 0.02。
步骤 2：精确计算
根据二项分布的概率公式，P{X = k} = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中 C(n, k) 表示从 n 个不同元素中取 k 个元素的组合数。
- P{X = 0} = C(40, 0) * (0.02)^0 * (0.98)^40 = 1 * 1 * (0.98)^40 = (0.98)^40
- P{X = 1} = C(40, 1) * (0.02)^1 * (0.98)^39 = 40 * 0.02 * (0.98)^39 = 0.8 * (0.98)^39
- P{X ≥ 2} = 1 - P{X = 0} - P{X = 1} = 1 - (0.98)^40 - 0.8 * (0.98)^39
计算结果为 P{X ≥ 2} = 1 - (0.98)^40 - 0.8 * (0.98)^39 = 0.1905。
步骤 3：近似计算
当 n 较大，p 很小，且 np = λ 时，二项分布可以近似为泊松分布。这里 n = 40，p = 0.02，λ = np = 0.8。
- P{X ≥ 2} = 1 - P{X = 0} - P{X = 1} = 1 - e^(-λ) - λ * e^(-λ) = 1 - e^(-0.8) - 0.8 * e^(-0.8)
计算结果为 P{X ≥ 2} = 1 - e^(-0.8) - 0.8 * e^(-0.8) = 0.191。