【2022.2】设函数f(x)=x^4-6x^2+7,则（）。A. x=0是f(x)的极值点，点(1,2)是曲线y=f(x)的拐点B. x=0是f(x)的极值点，点(1,2)不是曲线y=f(x)的拐点C. x=0不是f(x)的极值点，点(1,2)是曲线y=f(x)的拐点D. x=0不是f(x)的极值点，点(1,2)不是曲线y=f(x)的拐点

本题考查函数极值点与拐点的判定，解题思路是先求出函数的一阶导数，通过一阶导数为零的点判断可能的极值点，再利用二阶导数判断这些点是否为极值点；接着求出函数的二阶导数，通过二阶导数为零的点判断可能的拐点，再看二阶导数在该点两侧的符号是否改变来确定是否为拐点。

1. 判断$x = 0$是否为极值点：
   • 首先对函数$f(x)=x^{4}-6x^{2}+7$求一阶导数，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
     $f^\prime(x)=(x^{4}-6x^{2}+7)^\prime=(x^{4})^\prime-(6x^{2})^\prime+(7)^\prime=4x^{3}-12x$
   • 令$f^\prime(x)=0$，即$4x^{3}-12x = 0$，提取公因式$4x$可得$4x(x^{2}-3)=0$，进一步因式分解为$4x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0$，解得$x = 0$或$x = \pm\sqrt{3}$，这三个点是函数可能的极值点。
   • 然后对$f^\prime(x)$求二阶导数，$f^{\prime\prime}(x)=(4x^{3}-12x)^\prime=(4x^{3})^\prime-(12x)^\prime=12x^{2}-12$。
   • 将$x = 0$代入二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$中，可得$f^{\prime\prime}(0)=12\times0^{2}-12=-12\lt0$。
   • 根据极值点的第二判定定理：设函数$f(x)$在$x_0$处具有二阶导数且$f^\prime(x_0)=0$，$f^{\prime\prime}(x_0)\neq0$，当$f^{\prime\prime}(x_0)\lt0$时，函数$f(x)$在$x_0$处取得极大值，所以$x = 0$是$f(x)$的极值点。
2. 判断点$(1,2)$是否为拐点：
   • 令$f^{\prime\prime}(x)=0$，即$12x^{2}-12 = 0$，化简可得$x^{2}-1 = 0$，因式分解为$(x - 1)(x + 1) = 0$，解得$x = \pm1$，这两个点是函数可能的拐点。
   • 当$x\lt -1$时，$f^{\prime\prime}(x)=12x^{2}-12\gt0$，曲线是凹的；当$-1\lt x\lt 1$时，$f^{\prime\prime}(x)=12x^{2}-12\lt0$，曲线是凸的；当$x\gt 1$时，$f^{\prime\prime}(x)=12x^{2}-12\gt0$，曲线是凹的。
   • 因为$f^{\prime\prime}(x)$在$x = 1$两侧符号发生改变，所以点$(1,2)$是曲线$y = f(x)$的拐点。