7.设总体X服从[0,θ]上的均匀分布,X 1,X2,X1为来自总体的简单随机样7.设总体X服从[0,θ]上的均匀分布,X 1,X2,X1为来自总体的简单随机样

步骤 1：求 $max\{X_i\}$ 的分布函数
设 $Y=max\{X_i\}$，其中 $X_i$ 服从 $[0, \theta]$ 上的均匀分布，其分布函数为 $F_X(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ \frac{x}{\theta}, & 0\leq x\leq \theta \\ 1, & x>\theta \end{cases}$。那么 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)=[F_X(y)]^3$，即：
$F_Y(y)=\begin{cases} 0, & y<0 \\ \left(\frac{y}{\theta}\right)^3, & 0\leq y\leq \theta \\ 1, & y>\theta \end{cases}$

步骤 2：求 $max\{X_i\}$ 的概率密度函数
对 $F_Y(y)$ 求导可得 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$，即 $f_Y(y)=F_Y'(y)$，则：
$f_Y(y)=\begin{cases} 0, & y<0 \\ \frac{3y^2}{\theta^3}, & 0\leq y\leq \theta \\ 0, & y>\theta \end{cases}$

步骤 3：求 $E[max\{X_i\}]$
根据期望的计算公式 $E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} y f_Y(y) dy$，可得：
$E(Y)=\int_{0}^{\theta} y \cdot \frac{3y^2}{\theta^3} dy = \frac{3}{\theta^3} \int_{0}^{\theta} y^3 dy = \frac{3}{\theta^3} \cdot \frac{y^4}{4} \Big|_{0}^{\theta} = \frac{3}{4}\theta$

步骤 4：根据无偏估计量的定义求 $k$
因为 $\hat{\theta}=kmax\{X_i\}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量，根据无偏估计量的定义有 $E(\hat{\theta})=\theta$。而 $E(\hat{\theta})=E(kmax\{X_i\})=kE(max\{X_i\})$，又已知 $E(max\{X_i\})=\frac{3}{4}\theta$，所以：
$k \cdot \frac{3}{4}\theta = \theta$
$k=\frac{4}{3}$