(选择题，4分)极限lim(xto0)(e^xx-1)/x的值为()。A. 1B. 0C. eD. ∞

本题考查函数极限的计算，解题思路是先判断极限的类型，若为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型，则可使用洛必达法则进行求解。

1. 判断极限类型：
   当$x\to0$时，分子$e^{x}x - 1\to e^{0}\times0 - 1=1\times0 - 1=-1$，分母$x\to0$，此极限并非$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型，不能直接使用洛必达法则。
   我们可以将原式拆分为两个极限的差来分别计算。
   $\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}x - 1}{x}=\lim\limits_{x\to0}(\frac{e^{x}x}{x}-\frac{1}{x})=\lim\limits_{x\to0}(e^{x}-\frac{1}{x})$
   这里我们发现拆分后$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$是无穷大，说明拆分的方法不合适。

我们重新来，将原式$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}x - 1}{x}$变形为$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}x}{x}-\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$是错误的，因为$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}x - 1}{x}$是一个整体，不能直接拆分。

我们使用洛必达法则的前提是$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型，我们重新检查发现原答案有误，正确的应该是：
$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}$（这里猜测题目可能是$\frac{e^{x}-1}{x}$，因为$\frac{e^{x}x - 1}{x}$极限不存在）
当$x\to0$时，分子$e^{x}-1\to e^{0}-1=1 - 1 = 0$，分母$x\to0$，属于$\frac{0}{0}$型。

2. 使用洛必达法则：
   洛必达法则是指在一定条件下，对于$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型的极限$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$，有$\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$。
   对分子$f(x)=e^{x}-1$求导，根据求导公式$(e^{x})^\prime=e^{x}$，$(C)^\prime = 0$（$C$为常数），可得$f^\prime(x)=(e^{x}-1)^\prime=e^{x}$。
   对分母$g(x)=x$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$g^\prime(x)=(x)^\prime=1$。
   则$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}}{1}$。

3. 计算极限值：
   将$x = 0$代入$\frac{e^{x}}{1}$，可得$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}}{1}=\frac{e^{0}}{1}=\frac{1}{1}=1$。