题目
设总体 X sim N(mu, 4)，(X_1, X_2, ...; X_n) 是总体 X 的样本，令 overline(X) = (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i，则 mu 的置信水平为 1 - alpha 的置信区间为(). A)(overline(X) - u_(alpha) (2)/(sqrt(n)), overline(X) + u_(alpha) (2)/(sqrt(n)) ) B)(overline(X) - u_((alpha)/(2)) (4)/(sqrt(n)), overline(X) + u_((alpha)/(2)) (4)/(sqrt(n)) ) C)(overline(X) - u_(alpha) (4)/(sqrt(n)), overline(X) + u_(alpha) (4)/(sqrt(n)) ) D)(overline(X) - u_((alpha)/(2)) (2)/(sqrt(n)), overline(X) + u_((alpha)/(2)) (2)/(sqrt(n)) )
设总体 $X \sim N(\mu, 4)$，$(X_1, X_2, \cdots; X_n)$ 是总体 $X$ 的样本，令 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，则 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间为().
A)$\left(\overline{X} - u_{\alpha} \frac{2}{\sqrt{n}}, \overline{X} + u_{\alpha} \frac{2}{\sqrt{n}} \right)$
B)$\left(\overline{X} - u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{4}{\sqrt{n}}, \overline{X} + u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{4}{\sqrt{n}} \right)$
C)$\left(\overline{X} - u_{\alpha} \frac{4}{\sqrt{n}}, \overline{X} + u_{\alpha} \frac{4}{\sqrt{n}} \right)$
D)$\left(\overline{X} - u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{2}{\sqrt{n}}, \overline{X} + u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{2}{\sqrt{n}} \right)$
题目解答
答案
为了找到总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间，我们从正态总体的样本均值 $\overline{X}$ 的性质开始。已知总体 $X \sim N(\mu, 4)$，样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ 也服从正态分布，其均值为 $\mu$，方差为 $\frac{4}{n}$。因此，$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{4}{n}\right)$。
为了构造置信区间，我们使用标准化变量：
\[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sqrt{\frac{4}{n}}} = \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{2}{\sqrt{n}}} = \frac{\sqrt{n}(\overline{X} - \mu)}{2} \]
这个变量 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
对于置信水平为 $1 - \alpha$，我们找到标准正态分布的上 $\frac{\alpha}{2}$-分位数，记为 $u_{\frac{\alpha}{2}}$。这意味着：
\[ P\left(-u_{\frac{\alpha}{2}} \leq Z \leq u_{\frac{\alpha}{2}}\right) = 1 - \alpha \]
将 $Z$ 的表达式代回，我们得到：
\[ P\left(-u_{\frac{\alpha}{2}} \leq \frac{\sqrt{n}(\overline{X} - \mu)}{2} \leq u_{\frac{\alpha}{2}}\right) = 1 - \alpha \]
为了隔离 $\mu$，我们乘以 $\frac{2}{\sqrt{n}}$：
\[ P\left(-u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{2}{\sqrt{n}} \leq \overline{X} - \mu \leq u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{2}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha \]
重新排列项以求解 $\mu$，我们得到：
\[ P\left(\overline{X} - u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{2}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X} + u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{2}{\sqrt{n}}\right) = 1 - \alpha \]
因此，总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1 - \alpha$ 的置信区间为：
\[ \left(\overline{X} - u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{2}{\sqrt{n}}, \overline{X} + u_{\frac{\alpha}{2}} \frac{2}{\sqrt{n}}\right) \]
正确答案是：
\[
\boxed{A}
\]