题目

(5)将二重积分I=int_((pi)/(4))^(pi)/(2)dthetaint_(0)^2sinthetaf(rcostheta,rsintheta)rdr化为直角坐标系下的二次积分，则I=（）A. int_(0)^1dxint_(1-sqrt(1-x^2))^xf(x,y)dyB. int_(0)^1dxint_(x)^sqrt(1-x^(2))f(x,y)dyC. int_(0)^1dyint_(0)^yf(x,y)dx+int_(1)^2dyint_(0)^sqrt(2y-y^(2))f(x,y)dxD. int_(0)^1dyint_(y)^sqrt(2y-y^(2))f(x,y)dx

(5)将二重积分$I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{2\sin\theta}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr$化为直角坐标系下的二次积分，则I=（）

A. $\int_{0}^{1}dx\int_{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{x}f(x,y)dy$

B. $\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}}f(x,y)dy$

C. $\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx+\int_{1}^{2}dy\int_{0}^{\sqrt{2y-y^{2}}}f(x,y)dx$

D. $\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{\sqrt{2y-y^{2}}}f(x,y)dx$

题目解答

答案

C. $\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}f(x,y)dx+\int_{1}^{2}dy\int_{0}^{\sqrt{2y-y^{2}}}f(x,y)dx$

解析

考查要点：本题主要考查极坐标系下的二重积分转换为直角坐标系下的二次积分的能力，需要掌握极坐标与直角坐标的转换关系，以及积分区域的划分。

解题核心思路：

  1. 确定极坐标积分区域：分析极坐标方程$r=2\sin\theta$对应的直角坐标系中的曲线，明确积分区域的几何形状。
  2. 转换积分区域：将极坐标下的$\theta$和$r$的范围转化为直角坐标系中的$x$和$y$的范围，并判断是否需要分段处理。
  3. 调整积分顺序：根据直角坐标系的积分区域，确定合适的积分顺序（先$x$后$y$或先$y$后$x$），并写出对应的积分限。

破题关键点：

  • 极坐标方程转换：$r=2\sin\theta$对应直角坐标系中的圆$x^2 + (y-1)^2 = 1$，圆心为$(0,1)$，半径为$1$。
  • 积分区域划分：当$y$从$0$到$1$时，$x$的范围为$0$到$y$；当$y$从$1$到$2$时，$x$的范围由圆的方程确定为$0$到$\sqrt{2y - y^2}$。

步骤1：分析极坐标积分区域

原积分区域由$\theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$和$r \in [0, 2\sin\theta]$确定：

  • $\theta$的范围对应直角坐标系中的区域：$y \geq x$（第一象限中左上部分）。
  • $r=2\sin\theta$对应圆$x^2 + (y-1)^2 = 1$，圆心$(0,1)$，半径$1$。

步骤2：转换为直角坐标系积分区域

积分区域需分两部分：

  1. 当$y \in [0,1]$时：圆与直线$y=x$的交点为$(0,0)$和$(1,1)$，此时$x$的范围为$0 \leq x \leq y$。
  2. 当$y \in [1,2]$时：圆的右侧边界为$x = \sqrt{2y - y^2}$，此时$x$的范围为$0 \leq x \leq \sqrt{2y - y^2}$。

步骤3：确定积分顺序与选项

积分需按$y$分段处理，先对$x$积分再对$y$积分，对应选项C的表达式：
$\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{y} f(x,y) dx + \int_{1}^{2} dy \int_{0}^{\sqrt{2y - y^2}} f(x,y) dx$