题目

设总体 X sim N(mu, sigma^2)，若 sigma^2 已知，总体均值 mu 的置信度为 1 - alpha 的置信区间为 (bar(X) - lambda (sigma)/(sqrt(n)), bar(X) + lambda (sigma)/(sqrt(n)))，则 lambda = ( )。A. u_(alpha/2)B. chi_(1-alpha/2)(n)C. t_(alpha/2)(n-1)D. t_(alpha/2)(n)

设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，若 $\sigma^2$ 已知，总体均值 $\mu$ 的置信度为 $1 - \alpha$ 的置信区间为 $\left(\bar{X} - \lambda \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + \lambda \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$，则 $\lambda = (\ )$。

A. $u_{\alpha/2}$

B. $\chi_{1-\alpha/2}(n)$

C. $t_{\alpha/2}(n-1)$

D. $t_{\alpha/2}(n)$

题目解答

答案

A. $u_{\alpha/2}$

解析

本题考查正态总体均值的置信区间以及标准正态分布分位数的知识点。解题的关键在于根据已知的置信区间形式，结合正态分布的性质来确定$\lambda$的值的值。

  1. 已知总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，且$\sigma^2$已知，样本均值$\bar{{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。
  2. 对$\bar{X}$X)进行进行标准化处理，令$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，根据正态分布的性质可知$Z \sim N(0, 1)$。
  3. 对于置信度为$1 - \alpha)的置信区间，我们有\(P\left(-\lambda < \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}} < \lambda\right) = 1 - \alpha$。
  4. 由于标准正态分布的对称性，$P\left(-\lambda < \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} < \lambda\right)=P\left(Z < \lambda\right)-P\left(Z < -\lambda\right)$。
  5. 又因为$P\left(Z < -\lambda\right)-P\left(Z < -\lambda\right)=2\varPhi(\lambda)-1$（其中$\varPhi(\lambda)$是标准正态分布的分布函数），且$2\varPhi(\lambda)-1 = 1 - \alpha$，则$\varPhi(\lambda)=1-\frac{\alpha}{2}$。
  6. 根据标准正态分布分位数的定义，若$\Phi标准标准正态分布的性质，\(P\left(-u_{\alpha/2} < Z < u_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$，其中$u_{\alpha/2}$是标准正态分布的上$\frac{\alpha}{2}$分位数，即$\Phi(u_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$。
  7. 对比$\Phi(\lambda)=1-\frac{\alpha}{2}$和$\Phi(u_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2}$，可得$\lambda = u_{\alpha/2}$。