题目
5.31 设 sim N(1,3) sim N(2,4), X,Y独立, =3X+2Y+2,-|||-=2X-5Y+6. 求-|||-(a)U,V的分布;-|||-(b)(U,V)的联合分布和协方差矩阵.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算U的期望和方差
由于X和Y独立，且$X\sim N(1,3)$，$Y\sim N(2,4)$，则$U=3X+2Y+2$的期望和方差分别为：
$$E(U)=E(3X+2Y+2)=3E(X)+2E(Y)+2=3*1+2*2+2=9$$
$$Var(U)=Var(3X+2Y+2)=3^2Var(X)+2^2Var(Y)=9*3+4*4=43$$
步骤 2：计算V的期望和方差
同理，$V=2X-5Y+6$的期望和方差分别为：
$$E(V)=E(2X-5Y+6)=2E(X)-5E(Y)+6=2*1-5*2+6=-2$$
$$Var(V)=Var(2X-5Y+6)=2^2Var(X)+(-5)^2Var(Y)=4*3+25*4=112$$
步骤 3：计算U和V的协方差
由于X和Y独立，$Cov(X,Y)=0$，则$U=3X+2Y+2$和$V=2X-5Y+6$的协方差为：
$$Cov(U,V)=Cov(3X+2Y+2,2X-5Y+6)=3*2Cov(X,X)+2*(-5)Cov(Y,Y)=6*3-10*4=-22$$
步骤 4：计算(U,V)的联合分布和协方差矩阵
由于X和Y独立，且$X\sim N(1,3)$，$Y\sim N(2,4)$，则(U,V)的联合分布为二元正态分布，协方差矩阵为：
$$\left (\begin{matrix} 43& -22\\ -22& 112\end{matrix} ) \right.$$
由于X和Y独立，且$X\sim N(1,3)$，$Y\sim N(2,4)$，则$U=3X+2Y+2$的期望和方差分别为：
$$E(U)=E(3X+2Y+2)=3E(X)+2E(Y)+2=3*1+2*2+2=9$$
$$Var(U)=Var(3X+2Y+2)=3^2Var(X)+2^2Var(Y)=9*3+4*4=43$$
步骤 2：计算V的期望和方差
同理，$V=2X-5Y+6$的期望和方差分别为：
$$E(V)=E(2X-5Y+6)=2E(X)-5E(Y)+6=2*1-5*2+6=-2$$
$$Var(V)=Var(2X-5Y+6)=2^2Var(X)+(-5)^2Var(Y)=4*3+25*4=112$$
步骤 3：计算U和V的协方差
由于X和Y独立，$Cov(X,Y)=0$，则$U=3X+2Y+2$和$V=2X-5Y+6$的协方差为：
$$Cov(U,V)=Cov(3X+2Y+2,2X-5Y+6)=3*2Cov(X,X)+2*(-5)Cov(Y,Y)=6*3-10*4=-22$$
步骤 4：计算(U,V)的联合分布和协方差矩阵
由于X和Y独立，且$X\sim N(1,3)$，$Y\sim N(2,4)$，则(U,V)的联合分布为二元正态分布，协方差矩阵为：
$$\left (\begin{matrix} 43& -22\\ -22& 112\end{matrix} ) \right.$$