设随机变量X与Y独立，X~N（μ，δ^2）,Y/δ^2~χ^2(n),T=(X-μ)/√Y√n,则T服从（）A. t(n-1)分布B. t(n)分布C. N（0，1）分布D. F（1，n）分布

考查要点：本题主要考查t分布的定义及其构成条件，需要结合正态分布和卡方分布的性质进行推导。

解题核心思路：

1. 标准化处理：将正态变量X转化为标准正态变量。
2. 构造卡方变量：利用Y与δ²的关系，明确Y的分布形式。
3. 组合结构分析：验证分子为标准正态变量，分母为卡方变量的标准化形式，且两者独立，从而判断T的分布类型。

破题关键点：

• 识别标准正态变量：通过$(X-\mu)/\delta$得到标准正态变量。
• 卡方变量的变形：将Y表示为$\delta^2 \cdot \chi^2(n)$，并提取自由度。
• 独立性保证：X与Y独立，确保分子与分母的独立性。

步骤1：标准化正态变量
由$X \sim N(\mu, \delta^2)$，可得：
$Z = \frac{X - \mu}{\delta} \sim N(0, 1)$

步骤2：构造卡方变量
题目给出$\frac{Y}{\delta^2} \sim \chi^2(n)$，因此：
$Y = \delta^2 \cdot \chi^2(n)$

步骤3：分析T的表达式
将T的表达式变形：
$T = \frac{X - \mu}{\sqrt{Y/n}} = \frac{Z \cdot \delta}{\sqrt{\delta^2 \cdot \chi^2(n)/n}} = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2(n)/n}}$

步骤4：判断分布类型
此时，分子$Z \sim N(0,1)$，分母$\sqrt{\chi^2(n)/n}$对应自由度为$n$的卡方变量标准化形式，且$Z$与$\chi^2(n)$独立。根据t分布的定义，$T$服从$t(n)$分布。