题目
(5) dfrac (1)(ln 2)-dfrac (1)(ln 3)+dfrac (1)(ln 4)-dfrac (1)(ln 5)+... +((-1))^n-1dfrac (1)(ln (n+1))+... :
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定级数类型
级数 $\dfrac {1}{\ln 2}-\dfrac {1}{\ln 3}+\dfrac {1}{\ln 4}-\dfrac {1}{\ln 5}+\cdots +{(-1)}^{n-1}\dfrac {1}{\ln (n+1)}+\cdots $ 是一个交错级数，其中每一项的符号交替变化。
步骤 2：应用莱布尼茨判别法
莱布尼茨判别法指出，如果一个交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 满足以下两个条件，则该级数收敛：
1. $a_n$ 是单调递减的，即 $a_{n+1} \leq a_n$ 对所有 $n$ 成立。
2. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
步骤 3：验证条件
对于给定的级数，$a_n = \dfrac{1}{\ln(n+1)}$。
1. 单调递减：由于 $\ln(n+1)$ 随着 $n$ 的增加而增加，所以 $\dfrac{1}{\ln(n+1)}$ 随着 $n$ 的增加而减少，满足单调递减条件。
2. 极限为零：$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\ln(n+1)} = 0$，因为 $\ln(n+1)$ 随着 $n$ 的增加而趋向于无穷大。
级数 $\dfrac {1}{\ln 2}-\dfrac {1}{\ln 3}+\dfrac {1}{\ln 4}-\dfrac {1}{\ln 5}+\cdots +{(-1)}^{n-1}\dfrac {1}{\ln (n+1)}+\cdots $ 是一个交错级数，其中每一项的符号交替变化。
步骤 2：应用莱布尼茨判别法
莱布尼茨判别法指出，如果一个交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 满足以下两个条件，则该级数收敛：
1. $a_n$ 是单调递减的，即 $a_{n+1} \leq a_n$ 对所有 $n$ 成立。
2. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
步骤 3：验证条件
对于给定的级数，$a_n = \dfrac{1}{\ln(n+1)}$。
1. 单调递减：由于 $\ln(n+1)$ 随着 $n$ 的增加而增加，所以 $\dfrac{1}{\ln(n+1)}$ 随着 $n$ 的增加而减少，满足单调递减条件。
2. 极限为零：$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\ln(n+1)} = 0$，因为 $\ln(n+1)$ 随着 $n$ 的增加而趋向于无穷大。