题目
一、单选题（共10题，70.0分） 4.(单选题，8.0分) 4、设随机变量X和Y相互独立，且X~U[1,3]，Y~U[2,8]，则E(XY)=（） A. 3 B. 6 C. 10 D. 12
一、单选题（共10题，70.0分） 4.(单选题，8.0分) 4、设随机变量X和Y相互独立，且X~U[1,3]，Y~U[2,8]，则E(XY)=（）
A. 3
B. 6
C. 10
D. 12
A. 3
B. 6
C. 10
D. 12
题目解答
答案
为了求解 $E(XY)$，我们首先利用随机变量独立的性质。对于两个独立的随机变量 $X$ 和 $Y$，有 $E(XY) = E(X)E(Y)$。
已知 $X \sim U[1,3]$ 和 $Y \sim U[2,8]$，其中 $U[a,b]$ 表示在区间 $[a,b]$ 上的均匀分布。均匀分布的期望值 $E(Z)$ 为 $\frac{a+b}{2}$。
首先，我们计算 $E(X)$：
\[
E(X) = \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]
接下来，我们计算 $E(Y)$：
\[
E(Y) = \frac{2+8}{2} = \frac{10}{2} = 5
\]
现在，利用 $E(XY) = E(X)E(Y)$ 的性质，我们得到：
\[
E(XY) = 2 \times 5 = 10
\]
因此，正确答案是 $\boxed{C}$。
解析
步骤 1：计算 E(X)
由于 X 服从区间 [1, 3] 上的均匀分布，根据均匀分布的期望值公式，我们有：
\[ E(X) = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
步骤 2：计算 E(Y)
由于 Y 服从区间 [2, 8] 上的均匀分布，根据均匀分布的期望值公式，我们有：
\[ E(Y) = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
步骤 3：计算 E(XY)
由于 X 和 Y 是相互独立的随机变量，根据独立随机变量的期望值乘法规则，我们有：
\[ E(XY) = E(X)E(Y) = 2 \times 5 = 10 \]
由于 X 服从区间 [1, 3] 上的均匀分布，根据均匀分布的期望值公式，我们有：
\[ E(X) = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
步骤 2：计算 E(Y)
由于 Y 服从区间 [2, 8] 上的均匀分布，根据均匀分布的期望值公式，我们有：
\[ E(Y) = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
步骤 3：计算 E(XY)
由于 X 和 Y 是相互独立的随机变量，根据独立随机变量的期望值乘法规则，我们有：
\[ E(XY) = E(X)E(Y) = 2 \times 5 = 10 \]