题目
1.简答题*第二章第18题，在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点落在[0,a]中的任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例。试求X的分布函数。
1.简答题
*第二章第18题，在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点落在[0,a]中的任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例。试求X的分布函数。
题目解答
答案
设随机变量 $X$ 表示质点的坐标，其在区间 $[0, a]$ 上服从均匀分布。根据题意，概率密度函数 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 内为常数，且满足：
\[
\int_0^a f(x) \, dx = 1
\]
解得 $f(x) = \frac{1}{a}$（当 $0 \leq x \leq a$），其余区间为 0。
分布函数 $F(x) = P(X \leq x)$ 可分段求解：
1. 当 $x < 0$ 时，$F(x) = 0$；
2. 当 $0 \leq x \leq a$ 时，$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt = \int_0^x \frac{1}{a} \, dt = \frac{x}{a}$；
3. 当 $x > a$ 时，$F(x) = 1$。
综上，$X$ 的分布函数为：
\[
F(x) = \begin{cases}
0 & \text{若 } x < 0, \\
\frac{x}{a} & \text{若 } 0 \leq x \leq a, \\
1 & \text{若 } x > a.
\end{cases}
\]
解析
本题考查均匀分布的概率密度函数和分布函数的求解。解题思路是先根据已知条件确定随机变量$X$服从的分布，进而求出其概率密度函数，再通过对概率密度函数积分得到分布函数。
- 确定随机变量$X$的分布及概率密度函数：
- 已知质点落在$[0,a]$中的任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，所以随机变量$X$在区间$[0,a]$上服从均匀分布。
-
- 对于均匀分布，其概率密度函数$f(x)$在区间$[0,a]$内为常数，设为$C$，且满足$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$。
- 因为$f(x)$在$[0,a]$上为$C$，在其他区间外为$0$，所以$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{0}^{a}Cdx = 1$。
- 根据积分公式$\int_{0}^{a}Cdx = Cx\big|_{0}^{a}=Ca - C\times0 = Ca$，由$Ca = 1$，解得$C=\frac{1}{a}$，即$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{a},&0\leq x\leq a\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
- 求分布函数$F(x)$：
- 分布函数$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，需要分情况讨论：
- 当$x < 0$时，$f(t)=0$，所以$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{-\infty}^{x}0dt = 0$。
- 当$0\leq x\leq a$时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{-\infty}^{0}0dt+\int_{0}^{x}\frac{1}{a}dt$。
- 因为$\int_{-\infty}^{0}0dt = 0$，$\int_{0}^{x}\frac{1}{a}dt=\frac{1}{a}t\big|_{0}^{x}=\frac{1}{a}x-\frac{1}{a}\times0=\frac{x}{a}$，所以$F(x)=\frac{x}{a}$。
- 当$x > a$时，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{-\infty}^{0}0dt+\int_{0}^{a}\frac{1}{a}dt+\int_{a}^{x}0dt$。
- 由前面计算可知$\int_{-\infty}^{0}0dt = 0$，$\int_{0}^{a}\frac{1}{a}dt=\frac{1}{a}t\big|_{0}^{a}=\frac{1}{a}\times a-\frac{1}{a}\times0 = 1$，$\int_{a}^{x}0dt = 0$，所以$F(x)=1$。
- 分布函数$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，需要分情况讨论：