题目

练习：设总体X的密度函数为f(x;theta)=}(1)/(theta)e^-(x)/(theta),&x>00,&其它其中theta为未知参数。（1）求theta的矩估计量hat(theta)_(M)和极大似然估计量hat(theta)_(MLE)；（2）问hat(theta)_(MLE)是否为theta的无偏估计量？为什么？（3）若给出来自该总体的一个容量为8的样本的观测值：2、3、3、4、6、5、8、9，求P(X>1.5)的极大似然估计值

练习：设总体X的密度函数为$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x>0\\0,&其它\end{cases}$其中$\theta$为未知参数。 （1）求$\theta$的矩估计量$\hat{\theta}_{M}$和极大似然估计量$\hat{\theta}_{MLE}$； （2）问$\hat{\theta}_{MLE}$是否为$\theta$的无偏估计量？为什么？ （3）若给出来自该总体的一个容量为8的样本的观测值：2、3、3、4、6、5、8、9，求P(X>1.5)的极大似然估计值

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们将按照以下步骤进行： ### 第1步：求$\theta$的矩估计量$\hat{\theta}_M$ 总体 $X$ 的密度函数为： \[ f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}, & x > 0 \\ 0, & \text{其它} \end{cases} \] 这是参数为 $\frac{1}{\theta}$ 的指数分布。指数分布的均值为 $\theta$。矩估计法涉及将总体均值设置为等于样本均值。设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为来自该总体的样本。样本均值为： \[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \] 由于总体均值为 $\theta$，$\theta$ 的矩估计量为： \[ \hat{\theta}_M = \bar{X} \] ### 第2步：求$\theta$的极大似然估计量$\hat{\theta}_{MLE}$ 似然函数 $L(\theta)$ 是密度函数的乘积，对于样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$： \[ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \theta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta} e^{-\frac{X_i}{\theta}} = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i} \] 为了找到极大似然估计量，我们取似然函数的自然对数： \[ \ell(\theta) = \ln L(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i \] 接下来，我们对 $\ell(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并将其设置为零： \[ \frac{d \ell(\theta)}{d \theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i = 0 \] 解 $\theta$，我们得到： \[ -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i = 0 \implies \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{n}{\theta} \implies \sum_{i=1}^n X_i = n \theta \implies \theta = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \bar{X} \] 因此，$\theta$ 的极大似然估计量为： \[ \hat{\theta}_{MLE} = \bar{X} \] ### 第3步：检查$\hat{\theta}_{MLE}$是否为$\theta$的无偏估计量 估计量 $\hat{\theta}$ 是无偏的，如果 $E(\hat{\theta}) = \theta$。由于 $\hat{\theta}_{MLE} = \bar{X}$ 且指数分布的样本均值的期望值等于总体均值，我们有： \[ E(\hat{\theta}_{MLE}) = E(\bar{X}) = \theta \] 因此，$\hat{\theta}_{MLE}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量。 ### 第4步：求 $P(X > 1.5)$ 的极大似然估计值 给定样本观测值：2、3、3、4、6、5、8、9，我们首先计算样本均值： \[ \bar{X} = \frac{2 + 3 + 3 + 4 + 6 + 5 + 8 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5 \] $\theta$ 的极大似然估计量为 $\hat{\theta}_{MLE} = 5$。概率 $P(X > 1.5)$ 为： \[ P(X > 1.5) = \int_{1.5}^{\infty} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} \, dx = e^{-\frac{1.5}{\theta}} \] 将 $\theta = 5$ 代入，我们得到： \[ P(X > 1.5) = e^{-\frac{1.5}{5}} = e^{-0.3} \] 使用计算器，我们找到： \[ e^{-0.3} \approx 0.7408 \] 因此，$P(X > 1.5)$ 的极大似然估计值为： \[ \boxed{0.7408} \]

解析

考查要点：本题主要考查参数估计中的矩估计、极大似然估计、无偏性判断，以及利用估计量计算概率的极大似然估计值。

解题思路：

  1. 矩估计：利用指数分布的期望公式，将样本均值作为总体均值的估计。
  2. 极大似然估计：通过构造似然函数，求导并解方程得到估计量。
  3. 无偏性判断：验证估计量的期望是否等于被估计参数。
  4. 概率估计：将极大似然估计量代入概率表达式计算。

破题关键：

  • 指数分布的性质：期望为$\theta$，生存函数为$e^{-x/\theta}$。
  • MLE与矩估计的关系：本题中两者结果相同。
  • 无偏性证明：直接利用样本均值的期望性质。

（1）求$\hat{\theta}_M$和$\hat{\theta}_{MLE}$

矩估计量$\hat{\theta}_M$

指数分布的期望为$\theta$，矩估计法要求样本均值$\bar{X}$等于总体均值$\theta$，因此：
$\hat{\theta}_M = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$

极大似然估计量$\hat{\theta}_{MLE}$

  1. 构造似然函数：
    $L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\theta} e^{-\frac{X_i}{\theta}} = \frac{1}{\theta^n} e^{-\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n X_i}$
  2. 取对数并求导：
    $\ell(\theta) = -n\ln\theta - \frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^n X_i$
    $\frac{d\ell}{d\theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2}\sum_{i=1}^n X_i = 0$
  3. 解方程：
    $\sum_{i=1}^n X_i = n\theta \implies \hat{\theta}_{MLE} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i = \bar{X}$

（2）判断$\hat{\theta}_{MLE}$是否无偏

  • 无偏性定义：若$E(\hat{\theta}) = \theta$，则$\hat{\theta}$是无偏估计量。
  • 计算期望：
    $E(\hat{\theta}_{MLE}) = E(\bar{X}) = \theta$
    因此，$\hat{\theta}_{MLE}$是$\theta$的无偏估计量。

（3）求$P(X>1.5)$的极大似然估计值

  1. 计算样本均值：
    $\bar{X} = \frac{2+3+3+4+6+5+8+9}{8} = 5$
  2. 代入生存函数：
    $P(X>1.5) = e^{-\frac{1.5}{\hat{\theta}_{MLE}}} = e^{-\frac{1.5}{5}} = e^{-0.3} \approx 0.7408$